楕円型分布

球面分布の確率ベクトル表現

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球面分布の確率ベクトル表現

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前回の楕円型分布の続きをみていく。

球面分布の確率ベクトル表現

定数\(C(p)\)は\(p\)次元における単位球面の表面積である。\(\sin\Theta_1, \cos\Theta_1\cos\Theta_2, \ldots,\cos\Theta_1\cos\Theta_2\cdots\cos\Theta_{p-1}\)の座標から成る確率ベクトル\(\boldsymbol{U}\)は谷球面上で一様に分布している。ここに\(\Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)は、\(\Theta_{p-1}\)が\((-\pi, \pi)\)上で分布しているのを除いて、それぞれ独立に\((-\pi/2, \pi/2)\)上で一様に分布している(これは確率密度をもたない球面分布のもっとも簡単な例)。確率密度関数\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)をもつ\(\boldsymbol{Y}\)は次の確率ベクトルで表される。

\begin{align}\label{eq1}\boldsymbol{Y}\overset{d}{=}R\boldsymbol{U},\tag{1}\end{align}

ここに\(R\)は、楕円型分布の(7)式の確率密度関数をもつ。

\(\Theta_1,\ldots,\Theta_{p-1}\)のそれぞれの確率密度関数は偶関数であることより、期待値は奇関数の\(\sin \cdot\)と偶関数の積から成る積分となる。奇関数と偶関数の積は奇関数であり、原点を中心に奇関数を積分すると\(0\)となることから、次が成り立つ。

\begin{align}\label{eq2}\mathrm{E}[\boldsymbol{U}]=\boldsymbol{0}.\tag{2}\end{align}

\(R\)と\(\boldsymbol{U}\)は独立であることより、\(\mathrm{E}[R]<\infty\)のとき

\begin{align}\label{eq3}\mathrm{E}[Y]&=\mathrm{E}[R\boldsymbol{U}]\\&=R\mathrm{E}[\boldsymbol{U}]\\&=R\boldsymbol{0}\\&=\boldsymbol{0}\tag{3}\end{align}

さらに、\(\mathrm{E}[R^2]<\infty\)のとき、次を考える。

\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{YY}^T]&=\mathrm{E}[R\boldsymbol{U}(R\boldsymbol{U})^T]\\\label{eq4}&=\mathrm{E}[R^2]\mathrm{E}[\boldsymbol{UU}^T].\tag{4}\end{align}

\(\sum_{i=1}^pU_i^2=1\)であるため、

\begin{align}&\mathrm{E}[\sum_{i=1}^pU_i^2]=\mathrm{E}[1]=1\\&\Leftrightarrow \sum_{i=1}^p\mathrm{E}[U_i^2] = 1\\&\Leftrightarrow p\mathrm{E}[U_i^2]=1\\&\Leftrightarrow \mathrm{E}[U_i^2]=\cfrac{1}{p}\end{align}

である。さらに、\(\boldsymbol{Y}\)は原点に関して対称的に分布していることから、の非対角成分は、\(\mathrm{E}[U_1U_2] =\mathrm{E}[U_1U_3] =\cdots=\mathrm{E}[U_{p-1}U_p]\)を満たす。ここで、\(\mathrm{E}[U_1U_2]= \mathrm{E}[\sin\Theta_1\cos\Theta_1\sin\Theta_2]\)は奇関数となり、この期待値は\(0\)である。\(\mathrm{E}[U_iU_j], i\neq j\)に対しても同じことが言えるので、\(\mathrm{E}[U_iU_j]=0, i\neq j\)である。これらの結果を次にまとめる。

\begin{align}\label{eq5}\mathrm{E}[\boldsymbol{UU}^T]=(1/p)\boldsymbol{I}_p.\tag{5}\end{align}

したがって、\eqref{eq4}は次となる。

\begin{align}\label{eq6}\mathrm{E}[\boldsymbol{YY}^T]=(1/p)\mathrm{E}[R^2]\boldsymbol{I}_p.\tag{6}\end{align}

球面分布の大きな特徴は、すべての直交行列\(\boldsymbol{O}\)に対して、\(\boldsymbol{OY}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y}\)であることである。

定理1 直交変換に関する不変性

\(\boldsymbol{Y}\)が確率密度関数\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)をもつとき、\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{OY}\)は確率密度関数\(g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z})\)をもつ。ここに、\(\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{O}=\boldsymbol{I}\)である。

証明 \(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{y}\)の左側から\(\boldsymbol{O}^T\)を掛けると、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{z}\)がいえる。

\begin{align}&|\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{O}|=|\boldsymbol{I}|\\\Leftrightarrow |\boldsymbol{O}|^2=1\\\Leftrightarrow |\boldsymbol{O}|=1\end{align}

より、この変換のヤコビアンは

\begin{align}\left|\cfrac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \boldsymbol{z}}\right| = |\boldsymbol{O}|\\&=1\end{align}

である。また、\(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y} = \boldsymbol{y}^T\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{O}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z}\)である。したがって、\(\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{OY}\)の確率密度関数は次で表される。

\begin{align}g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z})\cdot\left|\cfrac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \boldsymbol{z}}\right|&=g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z})\cdot1\\&=g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z}).□\end{align}

この定理から、\(\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{OY}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y}\)がいえる。\(\boldsymbol{Y}\)が球面分布であることの定義を、\(\boldsymbol{OY}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y}\)の性質をもつ任意の分布であることへ拡張する。

系3 球面分布

\(\boldsymbol{Y}\)が\(\boldsymbol{Y}\overset{d}{=}R\boldsymbol{U}\)により表される球面分布であるとき、\(\boldsymbol{U}\)は球面分布である。ここに、\(R^2=\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\)とする。

証明 \(\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{OY}\)のとき、\(\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{OY}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y}\)である。さらに、\(\boldsymbol{Z}\)は\(\boldsymbol{Z}\overset{d}{=}S\boldsymbol{V}\)で表される。ここに\(S^2=\boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Z}\)である。よって

\begin{align}\boldsymbol{Z}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y}\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\\&\Leftrightarrow S^2 = R^2\\&\Leftrightarrow S=R.\end{align}

である。また、次が成り立つ。

\begin{align}\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{OY}\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{O}R\boldsymbol{U}\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{Z}=R\boldsymbol{OU}\\&\Leftrightarrow S\boldsymbol{V}=R\boldsymbol{OU}\\&\Leftrightarrow \boldsymbol{V}=\boldsymbol{OU}.\end{align}

さらに

\begin{align}&\boldsymbol{Z}\overset{d}{=}\boldsymbol{Y} \\&\Leftrightarrow S\boldsymbol{V}\overset{d}{=}R\boldsymbol{U}\\&\Leftrightarrow  \boldsymbol{V}\overset{d}{=}\boldsymbol{U}\end{align}

であることから、\(\boldsymbol{V}=\boldsymbol{OU}\overset{d}{=}\boldsymbol{U}\)である。直交変換に関して不変な任意の分布は球面分布なので、この系が示せた。□

定理3 楕円型分布のモーメント

\(\boldsymbol{X}\)が楕円型分布の(2)式の確率密度関数をもち、\(\mathrm{E}[R^2]<\infty\)であるとき\begin{align}\label{eq7}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}]=\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\nu}, \ \ \mathrm{Var}[\boldsymbol{X}]=\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T\bigr]=\boldsymbol{\Sigma}=(1/p)\mathrm{E}[R^2]\boldsymbol{\Lambda}.\tag{7}\end{align}

証明 \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\nu}+\boldsymbol{CY}\)について、\(\boldsymbol{X}\)の期待値は

\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}]&=\mathrm{E}[\boldsymbol{\nu}+\boldsymbol{CY}]\\&=\boldsymbol{\nu}+\boldsymbol{C}\mathrm{E}[\boldsymbol{Y}]\\&=\boldsymbol{\nu}+\boldsymbol{C}\boldsymbol{0}\\&=\boldsymbol{\nu}\end{align}

であり、これを\(\mathrm{E}[\boldsymbol{X}]=\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\nu}\)とおく。また、\(\boldsymbol{X}\)の共分散行列は

\begin{align}\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}]&=\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T\bigr]\\&=\mathrm{E}\Bigl[\bigl((\boldsymbol{\nu+\boldsymbol{CY}})-\boldsymbol{\nu}\bigr)\bigl((\boldsymbol{\nu+\boldsymbol{CY}})-\boldsymbol{\nu}\bigr)^T\Bigr]\\&=\mathrm{E}\bigl[\boldsymbol{CY}(\boldsymbol{CY})^T\bigr]\\&=(1/p)\mathrm{E}[R^2]\boldsymbol{CC}^T.\end{align}

ここで、楕円型分布で仮定したように、\(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}\)から、\(\boldsymbol{\Lambda}^{-1}=(\boldsymbol{CC}^T)^{-1}\Leftrightarrow \boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{CC}^T\)を得る。よって

\begin{align}(1/p)\mathrm{E}[R^2]\boldsymbol{CC}^T=(1/p)\mathrm{E}[R^2]\boldsymbol{\Lambda}.□\end{align}

次に、\(\mathrm{E}[R^m] <\infty\)のとき、\(\boldsymbol{Z}\)は\(N(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\Sigma})\)に従い、\(h=h_1+\cdots+h_p\)とすると、\(\boldsymbol{X}\)の\(h\)次モーメントは

\begin{align}\mathrm{E}[(X_1-\mu_1)^{h_1}\cdots(X_p-\mu_p)^{h_p}]=\mathrm{E}[Z_1^{h_1}\cdots Z_p^{h_p}]\mathrm{E}[R^h]/\mathrm{E}[(\chi_p^2)^{\frac{1}{2}h}]\end{align}

であることを示す。

\(\mathrm{E}[(X_1-\mu_1)^{h_1}\cdots(X_p-\mu_p)^{h_p}]\)は次で与えられる。

\begin{align}\mathrm{E}[(X_1-\mu_1)^{h_1}\cdots(X_p-\mu_p)^{h_p}]&=\mathrm{E}\Bigl[\bigl((\nu_1+\boldsymbol{c}_1\boldsymbol{Y})-\boldsymbol{\nu}_1\bigr)^{h_1}\cdots\bigl((\nu_p+\boldsymbol{c}_p\boldsymbol{Y})-\boldsymbol{\nu}_p\bigr)^{h_p}\Bigr]\\&=\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{c}_1\boldsymbol{Y})^{h_1}\cdots(\boldsymbol{c}_p\boldsymbol{Y})^{h_p}\bigr]\\&=\mathrm{E}[(\boldsymbol{c}_1R\boldsymbol{U})^{h_1}\cdots(\boldsymbol{c}_pR\boldsymbol{U})^{h_p}]\\\label{eq8}&=\mathrm{E}\bigl[S^h(\boldsymbol{c}_1\boldsymbol{U})\cdots(\boldsymbol{c}_p\boldsymbol{U})\bigr]\mathrm{E}[R^h]/\mathrm{E}[S^h],\tag{8}\end{align}

ここに\(\boldsymbol{c}_i, i=1,\ldots,p\)は正則行列\(\boldsymbol{C}\)の\(i\)行目とし、\(S^2 = \boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\)であり、\(\boldsymbol{Y}\)は\(N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\)に従うとする。多変量正規分布の極座標変換より、\(\mathrm{E}[S^h] = \mathrm{E}[(S^2)^{\frac{1}{2}h}] = \mathrm{E}[(\chi_p^2)^{\frac{1}{2}h}]\)である。また、楕円型分布より、確率密度関数\(|\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}g((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu}))\)が変化しても、\(\Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)の確率密度関数は常に同じであるため、\(S\boldsymbol{U}\)は球面分布に従い、かつ\(S^2\sim \chi_p^2\)であることから、\(S\boldsymbol{U}\sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\)である。よって、\(\boldsymbol{C}S\boldsymbol{U}=\boldsymbol{Z}\)とすると、\(\boldsymbol{Z}\sim N(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\Sigma})\)なので、\eqref{eq8}は

\begin{align}&\mathrm{E}\bigl[S^h(\boldsymbol{c}_1\boldsymbol{U})\cdots(\boldsymbol{c}_p\boldsymbol{U})\bigr]\mathrm{E}[R^h]/\mathrm{E}[S^h]\\&=\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{c}_1S\boldsymbol{U})^{h_1}\cdots(\boldsymbol{c}_pS\boldsymbol{U})^{h_p}\bigr]\mathrm{E}[R^h]/\mathrm{E}[(\chi_p^2)^h]\\&= \mathrm{E}[Z_1^{h_1}\cdots Z_p^{h_p}]\mathrm{E}[R^h]/\mathrm{E}[(\chi_p^2)^h].□\end{align}

定理3 不変な関数

\(\boldsymbol{X}\)が楕円型分布の(2)式の確率密度関数をもち、\(\mathrm{E}[R^2]<\infty\)であるとする。すべての\(c>0\)に対して、\(f[c\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}]]=f[\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}]]\)のとき、\(f[\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}]]=f(\boldsymbol{\Sigma})\)である。

特に、\(\rho_{ij}(\boldsymbol{X})=\sigma_{ij}/\sqrt{\sigma_{ii}\sigma_{jj}}=\lambda_{ij}/\sqrt{\lambda_{ii}\lambda_{jj}}\)である。ここに、\(\boldsymbol{\Sigma}=(\sigma_{ij})\)、\(\boldsymbol{\Lambda}=(\lambda_{ij})\)である。相関係数は正の定数倍に関して不変である。

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usagi-san

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