楕円型分布のモーメントとキュムラントを計算する。
また、4次キュムラントである尖度も導出する。
多変量正規分布を含む楕円型分布の4次キュムラントの一般化を行う。
楕円型分布の4次モーメント
楕円型分布に従う確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の4次モーメントを求める。\(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{\Lambda C}=\boldsymbol{I}\)を満たす正則行列\(\boldsymbol{C}\)について、\(\boldsymbol{CY} = \boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu}\)の変換を考える。\(\boldsymbol{C}\)の\(i\)行目を行ベクトル\(\boldsymbol{c}_i,\ i=1, \ldots, p\)で表す。このとき\(\mathrm{E}[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)]\)は次のように計算できる。
\begin{align}&\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\\&=\mathrm{E}[\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{Y}\boldsymbol{c}_j\boldsymbol{Y}\boldsymbol{c}_k\boldsymbol{Y}\boldsymbol{c}_l\boldsymbol{Y}]\\&= \mathrm{E}[R\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{U}R\boldsymbol{c}_j\boldsymbol{U}R\boldsymbol{c}_k\boldsymbol{U}R\boldsymbol{c}_l\boldsymbol{U}]\\&= \mathrm{E}[R^4]\mathrm{E}\left[\left(\sum_{m=1}^pc_{im}U_m\right)\left(\sum_{m=1}^pc_{jm}U_m\right)\left(\sum_{m=1}^pc_{km}U_m\right)\left(\sum_{m=1}^pc_{lm}U_m\right)\right]\\&=\mathrm{E}[R^4]\Biggl[\sum_{m=1}^pc_{im}c_{jm}c_{km}c_{lm}U_m^4 + \sum_{\substack{m,n=1\\m\neq n}}^pc_{im}c_{jm}c_{kn}c_{ln}U_m^2U_n^2 \\&\ \ \ \ +\sum_{\substack{m,n=1\\m\neq n}}^p c_{im}c_{km}c_{jn}c_{ln}U_m^2U_n^2 +\sum_{\substack{m,n=1\\m\neq n}}^p c_{im}c_{lm}c_{jn}c_{kn}U_m^2U_n^2\Biggr]\\&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)}\Biggl\{3\sum_{m=1}^pc_{im}c_{jm}c_{km}c_{lm} \\&\ \ \ \ + \sum_{\substack{m, n=1\\m\neq n}}^pc_{im}c_{jm}c_{kn}c_{ln} + \sum_{\substack{m,n =1\\m\neq n}}^p c_{im}c_{km}c_{jn}c_{ln} + \sum_{\substack{m,n =1\\m\neq n}}^p c_{im}c_{lm}c_{jn}c_{kn}\Biggr\}\\&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)}\Biggl\{ \left(\sum_{m=1}^pc_{im}c_{jm}\right) \left(\sum_{m=1}^pc_{km}c_{lm}\right) + \left(\sum_{m=1}^pc_{im}c_{km}\right) \left(\sum_{m=1}^pc_{jm}c_{lm}\right) +\left(\sum_{m=1}^pc_{im}c_{lm}\right) \left(\sum_{m=1}^pc_{jm}c_{km}\right) \Biggr\}\\&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)} (\lambda_{ij}\lambda_{kl}+\lambda_{ik}\lambda_{jl}+\lambda_{il}\lambda_{jk})\\&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)}\Biggl[\cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{ij}\cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{kl} + \cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{ik}\cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{jl} + \cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{il}\cfrac{p}{E[R^2]}\sigma_{jk}\Biggr] \\\label{eq1}&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{\bigl(\mathrm{E}[R^2]\bigr)^2}\cfrac{p}{p(p+2)}(\sigma_{ij}\sigma_{kl}+\sigma_{ik}\sigma_{jl}+\sigma_{il}\sigma_{jk}).\tag{1}\end{align}
楕円型分布の4次キュムラント
また、標準偏差で標準化した\(\boldsymbol{X}\)の\(i\)番目の要素の4次キュムラントは
\begin{align}\cfrac{\mathrm{E}\bigl[(X_i- \mu_i)^4\bigr]}{\Bigl[\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)^2\bigr]\Bigr]^2} - 3&= \cfrac{3\mathrm{E}[R^4]\lambda_{ii}^2 / p(p+2) - 3\bigl(\mathrm{E}[R^2]\lambda_{ii}/p\bigr)^2}{\bigl(\mathrm{E}[R^2]\lambda_{ii}/p\bigr)^2}\\&= \cfrac{3\mathrm{E}[R^4]/ p(p+2) - 3\bigl(\mathrm{E}[R^2]/p\bigr)^2}{\bigl(\mathrm{E}[R^2]/p\bigr)^2}\\&= 3\left[\cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{\bigl(\mathrm{E}[R^2]\bigr)^2}\cfrac{p}{p+2}-1\right]\\&= 3\left[\cfrac{4p(p+2)\phi''(0)}{\bigl\{ -2p\phi'(0)\bigr\}^2}\cfrac{p}{p+2}-1\right]\\\label{eq2}&= 3\left[\cfrac{\phi''(0)}{\bigl\{\phi'(0)\bigr\}^2}\right] = 3\kappa,\tag{2} \end{align}
である。これは尖度として知られている。ここに、\(\kappa\)は
\begin{align}\kappa = \cfrac{1}{3}\cfrac{\mathrm{E}\bigl[(X_i- \mu_i)^4\bigr]}{\Bigl[\mathrm{E}\bigl[(X_i - \mu_i)^2\bigr]\Bigr]^2} - 1 \end{align}
である。標準化された4次キュムラントは\(\boldsymbol{X}\)の全ての要素に対して、\(3\kappa\)である。\(X_i, X_j, X_k, X_l\)の4次キュムラントは次で表される
\begin{align}\kappa_{1, 2, \ldots, n} = \sum_{\pi}(|\pi| - 1)!(-1)^{|\pi|-1}\prod_{B\in\pi} \mathrm{E}\left[\prod_{i \in B} X_i\right] \end{align}
ここに、\(\pi\)は\(\{1, \ldots, n\}\)の分割であり、\(B\)は分割\(\pi\)のブロックである。このことから
\begin{align}&\kappa_{ijkl} \\&= \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\\&\ \ \ \ + (2-1)!(-1)^{2-1}\Bigl\{\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)\bigr]\mathrm{E}\bigl[(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_k-\mu_k)\bigr]\mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_l-\mu_l)\bigr] + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr]\\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr]\mathrm{E}\bigl[X_l-\mu_l\bigr] + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}\bigl[X_k-\mu_k\bigr]\\ & \ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}\bigl[X_j-\mu_j\bigr] + \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}\bigl[X_i-\mu_i\bigr]\Bigr\}\\&\ \ \ \ + (3-1)!(-1)^{3-1}\Bigl\{ \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)\bigr]\mathrm{E}[X_k-\mu_k]\mathrm{E}[X_l-\mu_l] + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_k-\mu_k)\bigr]\mathrm{E}[X_j-\mu_j]\mathrm{E}[X_l-\mu_l] \\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}[X_j-\mu_j]\mathrm{E}[X_k-\mu_k] + \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr]\mathrm{E}[X_i-\mu_i]\mathrm{E}[X_l-\mu_l]\\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_l-mu_l)\bigr]\mathrm{E}[X_i-\mu_i]\mathrm{E}[X_k-\mu_k] + \mathrm{E}\bigl[(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\mathrm{E}[X_i-\mu_i]\mathrm{E}[X_j-\mu_j]\Bigr\}\\&\ \ \ \ +(4-1)!(-1)^{4-1}\mathrm{E}[X_i-\mu_i]\mathrm{E}[X_j-\mu_j]\mathrm{E}[X_k-\mu_k]\mathrm{E}[X_l-\mu_l]\\&= \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\\&\ \ \ \ -\Bigl\{\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk} + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr]\cdot0 + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0\\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0+ \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0\Bigr\}\\&\ \ \ \ + 2\Bigl\{\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)\bigr]\cdot0\cdot0 +\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_k-\mu_k)\bigr]\cdot0\cdot0 + \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0\cdot0 \\&\ \ \ \ + \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr]\cdot0\cdot0 + \mathrm{E}\bigl[(X_j-\mu_j)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0\cdot0 + \mathrm{E}\bigl[(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]\cdot0\cdot0 \Bigr\}\\&\ \ \ \ -3\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\\&= \mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr]-(\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk}) \\&= \cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{\bigl(\mathrm{E}[R^2]\bigr)^2}\cfrac{p}{p+2}(\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk})- (\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk})\\&= (\kappa + 1)(\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk}) - (\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk})\\\label{eq3}&= \kappa(\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk}).\tag{3} \end{align}
正規分布の場合、\(\kappa = 0\)である。4次モーメントは次のように書ける。
\begin{align}\label{eq4}\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)(X_l-\mu_l)\bigr] = (1+\kappa)(\sigma_{ij}\sigma_{kl} + \sigma_{ik}\sigma_{jl} + \sigma_{il}\sigma_{jk}).\tag{4}\end{align}
楕円型分布族は正規分布を一般化させ、より柔軟に説明することができる。また、尖度は\(0\)である必要はない。\(|\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}g[(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{\nu})]\)の代表的なベルカーブ（鐘型曲線、bell-shaped surface）は正規分布のクラスより尖る。または滑らかになりうる。
