楕円型分布

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楕円型分布

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多変量正規分布などを含む分布のクラスを楕円型分布と呼ぶ。

ここでは、多変量正規分布などの分布の一般化として楕円型分布を解説していく。

球面、楕円型分布

多変量正規分布の幾何学的解釈で平均\(\boldsymbol{\mu}\)、共分散行列\(\boldsymbol{\Sigma}\)の多変量正規分布の確率密度関数は次の同心の楕円体上で一定であることを述べた。

\begin{align}\label{eq1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})=k.\tag{1}\end{align}

この特徴を持つ分布のクラスは、次の確率密度関数をもつ楕円型分布族という。

\begin{align}\label{eq2}|\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}g[(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})],\tag{2}\end{align}

ここに\(\boldsymbol{\Lambda}\)は正定値行列であり、\(g(\cdot)\geq 0\)である。また

\begin{align}\label{eq3}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})dy_1\cdots dy_p = 1\tag{3}\end{align}

を満たす。\(\boldsymbol{C}\)が\(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{I}を\)満たす正則行列であるとき、\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu}=\boldsymbol{Cy}\)の変換を行うことで、\eqref{eq2}の確率密度関数は

\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}g[(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})]\\&=|\boldsymbol{CC}^T|^{-\frac{1}{2}}g[(\boldsymbol{Cy})^T(\boldsymbol{C}^T)^{-1}\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{Cy}]\cdot\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{y}}\right|\\&=|\boldsymbol{C}|^{-1}g[\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{C}^T(\boldsymbol{C}^T)^{-1}\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{Cy}]\cdot|\boldsymbol{C}|\\&=g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\end{align}

となる。一定な密度\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)の外形は原点を中心とした球体である。このような確率密度関数のクラス球面分布という。楕円型分布は必ずしも確率密度関数をもたないが、ここでは統計的推測のために、確率密度関数をもつ分布のみを扱う。

球面分布

球面分布は次の極座標変換を用いて表される。

\begin{align}y_1&=r\sin\theta_1,\\y_2&=r\cos_1\sin\theta_2,\\y_3&=r\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_3,\\\vdots&\\ y_{p-1} &=r\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}\sin\theta_{p-1},\\\label{eq4}y_p&=r\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}\cos\theta_{p-1},\tag{4}\end{align}

ここに\(-\frac{1}{2}\pi < \theta_i \leq \frac{1}{2}\pi, i=1,\ldots,p-2\)、\(-\pi <\theta_{p-1}\leq \pi\)、また\(0\leq r <\infty\)である。このとき\(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y} = r^2\)が成り立つ。多次元の極座標変換より、\eqref{eq4}のヤコビアンは

\begin{align}\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_p)}{\partial(r, \theta_1, \ldots, \theta_{p-1})} = r^{p-1} \cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2} \end{align}

である。\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)が\(\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数であるとき、\(R, \Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)の確率密度関数は

\begin{align}&g(r^2) \mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_p)}{\partial(r, \theta_1, \ldots, \theta_{p-1})}\right|\\&=g(r^2)r^{p-1} \cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}\\\label{eq5}&=r^{p-1}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}g(r^2)\tag{5}\end{align}

となる。後に\eqref{eq12}で示しているように、\(R, \Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)は独立に分布している。次の積分

\begin{align}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{h-1}\theta d\theta =\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}h)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(h+1)\bigr]}\end{align}

より、\(R\)の周辺密度関数は次で与えられる。

\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^{p-1}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_{2}\cdots \cos\theta_{p-2}g(r^2)d\theta_1\cdots d\theta_{p-2}d\theta_{p-1}\\&=\left(\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^{p-1}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_{2}\cdots \cos\theta_{p-2}d\theta_1\cdots d\theta_{p-2}d\theta_{p-1}\right)g(r^2)r^{p-1}\\&=\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1+1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-2)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-2+1)\bigr]}\cdots\cfrac{\Gamma(\frac{2}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(2+1)\bigr]}2\pi g(r^2)r^{p-1}\\&=\cfrac{2\pi^{\frac{1}{2}p}}{\Gamma(\frac{1}{2}p)}g(r^2)r^{p-1}\\\label{eq7}&=C(p)g(r^2)r^{p-1},\tag{7}\end{align}

ここに\(C(p)\)は次で与えられる。

\begin{align}c(p)&=\cfrac{2\pi^{\frac{1}{2}p}}{\Gamma(\frac{1}{2}p)}\\\label{eq8}&=\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}d\theta_1 \cdots d\theta_{p-2}d\theta_{p-1}.\tag{8}\end{align}

\eqref{eq7}より

\begin{align}\int_{0}^{\infty}g(r^2)r^{p-1}dr = \cfrac{1}{C(p)}\end{align}

がいえる。したがって、\(\Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)の同時密度関数は

\begin{align}&\int_{0}^{\infty}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}g(r^2)r^{p-1}dr\\\label{eq9}&=\cfrac{1}{C(p)}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}\tag{9}\end{align}

となる。\(\theta_1, \ldots, \theta_{p-2}\)について\eqref{eq9}を積分することで、\(\Theta_{p-1}\)の周辺密度関数は次となる。

\begin{align}&\int_{-pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cfrac{1}{C(p)}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}d\theta_1\cdots d\theta_{p-2}\\&=\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{2\pi^{\frac{1}{2}p}}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1+1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-2)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-2+1)\bigr]}\cdots\cfrac{\Gamma(\frac{2}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(2+1)\bigr]}{}\\&=\cfrac{\pi^{\frac{1}{2}(p-2)}}{2\pi^{\frac{1}{2}p}}\\\label{eq10}&=\cfrac{1}{2\pi}.\tag{10}\end{align}

また、\(\Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)の同時密度関数を\(\theta_{p-1}\)について積分することで、\(\Theta_1, \ldots, \Theta_{p-2}\)の同時分布は

\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi}\cfrac{1}{C(p)}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}d\theta_{p-1}\\&=\cfrac{2\pi}{C(p)}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}\end{align}

である。よって、上の同時密度関数を\(\theta_1, \ldots_{i-1}, \theta_{i+1},\ldots, \theta_{p-2} \)について積分することで、\(\Theta_i\)の周辺密度関数は次で与えられる。

\begin{align}&\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cfrac{2\pi}{C(p)}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}d\theta_1\cdots d\theta_{i-1}d\theta_{i+1}d\theta_{p-2}\\&=\cfrac{2\pi}{C(p)} \cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1+1)\bigr]}\cdots\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i+2)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i-2+1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i+1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i+1+1)\bigr]}\\&\ \ \ \ \cdot\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i-1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i-1+1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i-2)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i-2+1)\bigr]}\cdots\cfrac{\Gamma(\frac{2}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(2+1)\bigr]}\cos^{p-i-1}\theta_i\\&=\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{\pi^{\frac{1}{2}(p-2)}}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i+1)\bigr]\pi^{\frac{1}{2}(p-3)}}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i)\bigr]}\cos^{p-i-1}\theta_i\\\label{eq11}&=\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i+1)\bigr]\cos^{p-i-1}\theta_i}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-i)\bigr]}.\tag{11}\end{align}

\(R\)の周辺密度関数\eqref{eq7}、\(\Theta_{p-1}\)の周辺密度関数\eqref{eq10}、\(\Theta_i\)の周辺密度関数\eqref{eq11}をそれぞれ\(g_{R}(r)\)、\(g_{\Theta_i}(\theta_i), i=1, \ldots, p-1\)で表記する。このとき、\(R, \Theta_1,\ldots, \Theta_{p-1}\)の周辺密度関数の積は

\begin{align}&g_{R}(r)g_{\Theta_1}(\theta_1)\cdots g_{\Theta_{p-1}}(\theta_{p-1})\\&=C(p)g(r^2)r^{p-1}\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)\cos^{p-2}\theta_1}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]\cos^{p-3}\theta_2}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-2)\bigr]}\cdots\cfrac{\frac{3}{2}\cos\theta_{p-2}}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{2}{2})}\cfrac{1}{2\pi}\\&=r^{p-1}\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{2\pi^{\frac{1}{2}(p-2)}}C(p)\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}g(r^2)\\&=r^{p-1}\cfrac{1}{C(p)}C(p)\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{p-2}g(r^2)\\\label{eq12}&=r^{p-1}\cos^{p-2}\theta_1\cos^{p-3}\theta_2 \cdots\cos\theta_{p-2}g(r^2)\tag{12}\end{align}

となり、この右辺は\(R, \Theta_1, \ldots, \Theta_{p-1}\)の同時密度関数である。したがって、\(R, \Theta_1,\ldots, \Theta_{p-1}\)はそれぞれ互いに独立である。

\(N(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})\)の正規分布の場合、\(\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数は\begin{align}g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}) = (2\pi)^{-\frac{1}{2}p}\exp\left(-\tfrac{1}{2}\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}\right)\end{align}である。多変量正規分布の極座標変換の系1より、\(R=(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^{\frac{1}{2}}\)の確率密度関数は\(r^{p-1}\exp(-\frac{1}{2}r^2)/[2^{\frac{1}{2}(p-1))}\Gamma(\frac{1}{2}p)]\)であり、\(r^2=v\)の確率密度関数は\(v^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}v}/[2^{\frac{1}{2}p}\Gamma(\frac{1}{2}p)]\)である。これは自由度\(p\)のカイ2乗分布の確率密度関数である。

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usagi-san

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