楕円型分布

楕円型分布の条件付き分布と重相関係数

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楕円型分布の条件付き分布と重相関係数

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前回の楕円型分布の線形結合の分布に続いて、楕円型分布の条件付き分布とその重相関係数についてみていく。

多変量正規分布の条件付き分布とその重相関係数を楕円型分布に拡張していく。

多変量正規分布については、それぞれ多変量正規分布の条件付き分布重相関係数について参照されたい。

楕円型分布の条件付き分布

\(\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{y}_1^T, \boldsymbol{y}_2^T)^T\)が球面分布\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)をもつとき、\(\boldsymbol{y}_2\)が与えられたときの\(\boldsymbol{Y}_1\)の条件付き分布の確率密度関数について考える。条件付き分布の定義より、\(\boldsymbol{y}_2\)が与えられたときの\(\boldsymbol{Y}_1\)の条件付き分布の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}\cfrac{g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)}{g_2(\boldsymbol{y_2}^T\boldsymbol{y}_2)} &= \cfrac{g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1  + r_2^2) r_2^{(p-q)-1}\cos^{(p-q) - 2}\theta_1 \cos^{(p-q) - 3}\theta_2 \cdots \cos\theta_{(p-q) - 2} }{g_2(r_2^2) r_2^{(p-q)-1}\cos^{(p-q) - 2}\theta_1 \cos^{(p-q) - 3}\theta_2 \cdots \cos\theta_{(p-q) - 2} }\\\label{eq1}&=\cfrac{g(\boldsymbol{y_1}^T\boldsymbol{y}_1 + r_2^2)}{g_2(r_2^2)},\tag{1}\end{align}

ここに、周辺密度関数\(g_2(\boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)\)は楕円型分布の線形結合の分布の(2)式で与えられたものとし、\(r_2 = \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2\)である。\(\boldsymbol{y}_1\)に関して、\eqref{eq1}は球面分布である(ただし、\(r_2^2\)に依る)。

ここで楕円型分布の(2)式の確率密度関数をもつ\(\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{X}^{(1)T}, \boldsymbol{X}^{(2)T})^T\)を考える。\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{x}^{(2)}\)が与えられたときの\(\boldsymbol{X}^{(1)}\)の条件付き密度関数を導出するために、まず同時分布を次のように展開する。

\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}} g\bigl[(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\nu})\bigr]\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot 2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}} \\&\ \ \ \ \cdot g\left[\begin{pmatrix}(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})^T & (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & -\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\\-\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1} + \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)}\\\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)}\end{pmatrix}\right]\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot 2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}} \\&\ \ \ \ \cdot g\Bigl[(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)}) - (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})\\&\ \ \ \ -(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)}) + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{x}^{(2)} -\boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\Bigr]\\&= |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot 2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}} \\&\ \ \ \ \cdot g\Bigl[ \bigl\{(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})^T - (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T(\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1})^T \bigr\} \boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} \bigl\{(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)}) - \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)}) \bigr\} + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_22^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\Bigr].\end{align}

ここで、\(r_2^2 = (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\)、\(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\)とおくと、\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{x}^{(2)}\)が与えられたときの\(\boldsymbol{X}^{(1)}\)の条件付き密度関数は次のようになる。

\begin{align} &|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot 2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}} \\&\ \ \ \ \cdot g\Bigl[ \bigl\{(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)})^T - (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{B}^T \bigr\} \boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} \bigl\{(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)}) - \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)}) \bigr\}\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_22^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\Bigr] / |\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g_2\bigl[(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr]\\\label{eq2}&=\left\{|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}} g\Bigl[\bigl\{\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)} -\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr\}^T \boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\bigl\{\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)} -\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr\}\Bigr]\right\} / g_2(r_2^2) \tag{2}.\end{align}

\eqref{eq2}の確率密度関数は\(\boldsymbol{x}^{(1)} - \boldsymbol{\nu}^{(1)} - \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\)において球面分布である。\(\mathrm{E}[R_1^2 | \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2 = r_2^2] < \infty\)のとき、\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{x}^{(2)}\)が与えられたときの\(\boldsymbol{X}^{(1)}\)の条件付き平均は

\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}^{(1)} | \boldsymbol{x}^{(2)}] = \boldsymbol{\nu}^{(1)} + \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\end{align}

である。また、条件付き共分散行列は\((\mathrm{E}[R_1^2] / q)\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}\)である。\((\sigma_{ij\cdot q+1,\ldots, p}) = \boldsymbol{\Sigma}_{11\cdot2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} -\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}\)であり、偏相関係数の定義2は保証される。

重相関係数の定理1定理2定理3、は、\(\mathrm{E}[R^2] < \infty\)である任意の楕円型分布に対して成り立つ。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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