多次元の極座標変換

\(n\)次元の極座標変換に関するヤコビアンや\(n\)次元単位球面の表面積をみていく。

\(n\)次元極座標変換

定理1　\(n\)次元極座標変換

直交座標から極座標への変換は\begin{align}y_1&=w\sin\theta_1,\\y_2&=w\cos\theta_1\sin\theta_2,\\y_3&=w\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_3,\\\vdots&\\y_{n-1}&=w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1},\\y_n&=w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\end{align}であり、ここに\(-\frac{1}{2}\pi <\theta_i \leq\frac{1}{2}\pi, i=1,\ldots, n-2\) 、\(-\pi<\theta_{n-1} \leq\pi\)、\(0\leq w <\infty\)とする。このとき次の(a)と(b)が成り立つ。

(a)　\(w^2=\sum_{\alpha=1}^n y_{alpha}^2\)である。

(b)　この変換のヤコビアンは\(w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\)である。

(a)の証明　(a)を示すために\(y_n^2+y_{n-1}^2\)、\((y_n^2+y_{n-1}^2)+y_{n-2}^2\)を順に計算する。

\begin{align}y_n^2+y_{n-1}^2&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-2}\cos^2\theta_{n-1}\\&\ \ \ \ +w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-2}\sin^2\theta_{n-1}\\&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-2}(\cos^2\theta_{n-1}+\sin^2\theta_{n-1})\\&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-2}.\end{align}

次に\((y_n^2+y_{n-1}^2)+y_{n-2}^2\)は

\begin{align}(y_n^2+y_{n-1}^2)+y_{n-2}^2&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_\cdots\cos^2\theta_{n-3}\cos^2\theta_{n-2}\\&\ \ \ \ w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-3}\sin^2\theta_{n-2}\\&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-3}(\cos^2\theta_{n-2}+\sin^2\theta_{n-2})\\&=w^2\cos^2\theta_1\cos^2\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-3}\end{align}

となる。よって、\(n\)回同様に繰り返すことで

\begin{align}\left(\sum_{\alpha=2}^n y_{\alpha}^2\right)+y_1^2 &= w^2\cos^2\theta_1+w^2\sin^2\theta_1\\&=w^2(\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1)\\&=w^2.□\end{align}

(b)の証明　(b)を示すために、まず次の関係を示す。

ここに\(x\)は明確な値を必要としない。\((y_1, \ldots, y_n)\)から\(\theta_1, \ldots, \theta_{n-1}, w\)への変換のヤコビアンは

\begin{align}&\left|\cfrac{\partial (y_1, \ldots, y_n)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{n-1}, w)}\right|\\&=\left|\begin{array}{cc}w\cos\theta_1 & 0\\w(-\sin\theta_1)\sin\theta_2 & w\cos\theta_1\cos\theta_2\\\vdots & \vdots\\w(-\sin\theta_1)\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1} & w\cos\theta_1(-\sin\theta_2)\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\\w(-\sin\theta_1)\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1} & w\cos\theta_1(-\sin\theta_2)\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\end{array}\right.\\&\ \ \ \ \cdots\left.\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & \sin\theta_1\\0&\cdots & 0 & \cos\theta_1\sin\theta_2\\\vdots & & \vdots& \vdots\\\cdots & \cdots & w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1} & \cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\\\cdots & \cdots & w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1} & \cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\end{array}\right|\end{align}

であるため、次がいえる。

\begin{align}&\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{n-1}, w)}\right|\cdot\begin{vmatrix}\cos\theta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\0 & \cos\theta_2 & \cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \cos\theta_{n-1} & 0\\w\sin\theta_1 & w\sin\theta_2 & \cdots & w\sin\theta_{n-1} & 1 \end{vmatrix}\\&=\left|\begin{array}{cc}w(\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1) & w\sin\theta_1\sin\theta_2\\-w\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_1+w\cos\theta_1\sin\theta_1\sin\theta_2 & w\cos\theta_1\cos^2\theta_2 + w\cos\theta_1\sin^2\theta_2\\\vdots & \vdots\\-2\sin\theta_1\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}+w\sin\theta_1\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1} & -w\cos^2\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1} + w\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\\-w\sin\theta_1\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-1}+w\sin\theta_1\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-1} & -2\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-1} + w\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-1}\end{array}\right.\\&\ \ \ \ \cdots \left.\begin{array}{ccc}\cdots & w\sin\theta_1\sin\theta_{n-1} & \sin\theta_1\\\cdots & 2\cos\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_{n-1}\\ & \vdots & \vdots\\\cdots & w\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\cos^2\theta_{n-1}+w\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin^2\theta_{n-1} & \cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\\\cdots & w\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\cos^2\theta_{n-1}+w\cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}\cos\theta_{n-1} & \cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-1}\end{array}\right|\\&=\begin{vmatrix}w & x & \cdots & x & x\\ 0 & w\cos\theta_1 & \cdots & x & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\0 & 0 & \cdots & w\cos\theta_1\cdots \cos\theta_{n-2} &x \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cos\theta_1\cdots\cos\theta_{n-1}\end{vmatrix}\end{align}

したがって、\eqref{eq1}の関係が示された。よって\eqref{eq1}の行列式を展開すると次を得る。

\begin{align}&\left|\cfrac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(\theta_1,\ldots, \theta_{n-1}, w)}\right|\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-1}\cdot1 = w^{n-1}\cos^{n-1}\theta_1\cos^{n-2}\theta_2\cdots\cos^2\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\\&\ \ \ \ \Leftrightarrow \left|\cfrac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{n-1}, w)}\right| = w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}.□\end{align}

\(n\)次元単位球面の表面積

\(n\)次元単位球面の表面積を求めるために、まず次の\(\cos\)に関する積分を考える。

補題1　cosに関する積分

次の関係が成り立つ。\begin{align}\label{eq2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{h-1}\theta d\theta = \cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}h)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(h+1)\bigr]}.\tag{2}\end{align}ここに実数\(a>0\)に対して、\(\Gamma(a)\)はガンマ関数とする。

証明　\(\cos^2\theta = u\)とおくと

\begin{align}\cfrac{du}{d\theta} &= 2\cos\theta(-\sin\theta)\\& \Leftrightarrow d\theta = \sin^{-1}\theta\cos{-1}\theta du\end{align}

である。また、\(\sin\theta\)は

\begin{align}\sin^2\theta &= (1-u)\end{align}

で表現され、\( -\pi/2< \theta \leq \pi/2\)であるとき、\( 0< u \leq 1\)であることから、\eqref{eq2}の左辺は

\begin{align}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{h-1}\theta d\theta&= \int_0^1u^{\frac{1}{2}(h-1)}(1-u)^{-\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}} du\\\label{eq3}&=\int_0^1u^{\frac{1}{2}h-1}(1-u)^{\frac{1}{2}-1}du\tag{3}\end{align}

となる。ここで、\(\mathrm{Re}\ p>0,\ \mathrm{Re}\ q>0\)を満たす複素数\(p\)、\(q\)に対する次のベータ関数\(B(p,q)\)を用いる。

\begin{align}B(p,q)&=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt \\&=\cfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.\end{align}

上のベータ関数より、\eqref{eq3}の右辺は次となる。

\begin{align}\int_0^1u^{\frac{1}{2}h-1}(1-u)^{\frac{1}{2}-1}du &= \cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}h)\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(h+1)\bigr]}.□\end{align}

定理2　単位球面の表面積

\(n\)次元単位球面の表面積は次で与えられる。\begin{align}C(n) = \cfrac{2\pi^{\frac{1}{2}n}}{\Gamma(\frac{1}{2}n)}.\end{align}

証明　\(n\)次元単位球面は次で定義される。

\begin{align}y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2=1.\end{align}

したがって、\(n\)次元単位球面の表面積は、定理1の極座標変換と補題1の積分を用いることで次で与えられる。

\begin{align}&\int_{\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}=1}\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}dy_1\cdots dy_n\\&= \int_0^1\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2} w^2w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}d\theta_{n-1}dw\\&=\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_{2}\cdots \cos\theta_{n-2}d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}d\theta_{n-1}\\&=\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(n-1)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(n-1+1)\bigr]}\cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(n-2)\bigr]\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(n-2+1)\bigr]}\cdots\cfrac{\Gamma(\frac{2}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(2+1)\bigr]}2\pi \\&=\cfrac{2\pi^{\frac{1}{2}n}}{\Gamma(\frac{1}{2}n)}\\&=C(n).□\end{align}