楕円型分布

楕円型分布の特性関数とモーメント

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楕円型分布の特性関数とモーメント

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楕円型分布の特性関数とモーメントについて解説する。

楕円型分布が直交変換に関し不変であるように、楕円型分布の特性関数も不変であることをみていく。

また、楕円型分布のモーメントの導出をおこなう。多変量正規分布と似た性質を持つことが分かる。

楕円型分布の特性関数

楕円型分布を持つ確率ベクトル\(\boldsymbol{Y}\)の特性関数\(\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Y}}]\)は直交変換に関して不変である性質を持つ。\(\boldsymbol{OO}^T = \boldsymbol{I}\)を満たす直交行列\(\boldsymbol{O}\)に対して、\(\boldsymbol{OY}\)の特性関数が不変であることを示す。\(|\partial(y_1, \ldots, y_p)/ \partial(z_1, \ldots, z_p)| = 1\)より、\(\boldsymbol{Z}\)の特性関数は次のように導出される。

\begin{align}\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{OY}}] &= \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{OY}}g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}) dy_1\cdots dy_p\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g\bigl[(\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{z})^T\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{z}\bigr]dz_1\cdots dz_p\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{OO}^T\boldsymbol{z}}g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{OO}^T\boldsymbol{z}) dz_1 \cdots dz_p\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{z}}g(\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z}) dz_1 \cdots dz_p \\\label{eq1}&=\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Z}}],\tag{1}\end{align}

ここに\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{OY}\)は確率密度関数\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)をもつ。したがって、直交変換に関して特性関数は不変である。すべての直交行列\(\boldsymbol{O}\)に対して\eqref{eq1}が成り立つことは、\(\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Z}}]\)は\(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t}\)の関数であることを意味する。例として\(\phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t}) = \mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Z}}]\)とおき、直交変換\(\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{t}\)を行うと、\(\phi[(\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{t}))^T\boldsymbol{O}^T\boldsymbol{t}] = \phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})\)となることが分かる。次に、確率ベクトル\(\boldsymbol{Y}\)の特性関数を次のように書くことにする。

\begin{align}\label{eq2}\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Y}}] = \phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})\tag{2}.\end{align}

このとき、\(\boldsymbol{\Lambda} = \boldsymbol{CC}^T\)であるような正則行列\(\boldsymbol{C}\)を用いて、\(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{CY}\)の変換を考える。\(\boldsymbol{X}\)の特性関数は次となる。

\begin{align}\mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{X}}] &= \mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T(\boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{CY})}]\\&=e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}} \mathrm{E}[e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{CY}}]\\&= e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}} \phi\bigl(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{C}(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{C})^T\bigr)\\&= e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}} \phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{C}\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{t})\\\label{eq3}&= e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}} \phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\Lambda t}).\tag{3}\end{align}

このことから、\(e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}}\phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\Lambda t})\)の形の任意の特性関数は、楕円型分布の(2)式の確率密度関数を持つ確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)に対応する。

楕円型分布のモーメント

楕円型分布を持つ\(\boldsymbol{X}\)のモーメントは特性関数\(e^{i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\mu}}\phi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{\Lambda t})\)または\(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\mu} + R\boldsymbol{CU}\)から求めることができる。ここに、\(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{I}\)である。このとき、次が成り立つ。

定理1 楕円型分布のモーメント

\(R^2 = \boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\)とする。\(R^2\)と\(R^4\)のモーメントは次で与えられる。\begin{align}\label{eq4}\mathrm{E}[R^2] &= C(p)\int_{0}^{\infty}r^{p+1}g(r^2) dr = -2p\phi'(0),\tag{4}\\\label{eq5}\mathrm{E}[R^4] &= C(p)\int_0^{\infty}r^{p+3}g(r^2)dr = 4p(p+2)\phi''(0).\tag{5}\end{align}

証明 \(R\)の\(2m\)次モーメントを求めるために、\(\boldsymbol{Y}\)の特性関数を次のように書き換える。

\begin{align}\mathrm{E}[\exp(i\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{Y})] &= \pi(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{\pi^{(k)}(0)}{k!}(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})^k\\&= \mathrm{E}\left[_0F_1\left(\tfrac{1}{2}o; -\tfrac{1}{4}\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t}\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\right)^k\right]\\&=\mathrm{E}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{1}{k!(p/2)_k} \left(-\tfrac{1}{4}\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t}\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\right)^k\right]\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{1}{k!(p/2)_k}\left(-\tfrac{1}{4}\right)^k\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^k\bigr](\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})^k,\end{align}

ここに、\(_0F_1\)はベッセル関数(Bessel function)である。両辺の\((\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})^k\)の係数を比べると

\begin{align}&\sum_{k = 0}^{\infty}\cfrac{\phi^{(k)}(0)}{k!}(\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})^k = \sum_{k=0}^{\infty} \cfrac{1}{k!(p/2)_k} \left(-\tfrac{1}{4}\right)^k\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^k\bigr](\boldsymbol{t}^T\boldsymbol{t})^k\\ &\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{\phi^{(k)}(0)}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{1}{k!(p/2)_k}\left(-\tfrac{1}{4}\right)^k\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^k\bigr]\\&\Leftrightarrow \phi^{(k)}(0) = \cfrac{1}{(p/2)_k}\left(-\tfrac{1}{4}\right)^k\mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^k\bigr]\\&\Leftrightarrow \mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y})^k\bigr] = (-4)^k\left(p/2\right)_k\phi^{(k)}(0).\end{align}

よって\(\mathrm{E}[R^{2m}]\)は

\begin{align}\mathrm{E}[R^{2m}] &= \mathrm{E}\bigl[(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})^m\bigr]\\&=(-4)^m\left(p/2\right)_m\pi^{(m)}(0)\end{align}

である。このことから、\(\mathrm{E}[R^2]\)と\(\mathrm{R^4}\)はそれぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[R^2] &= (-4)^1 (p/2)_1 \phi'(0)\\&=(-4)(p/2)\phi'(0)\\&=-2p\phi'(0),\end{align}\begin{align}\mathrm{E}[R^4] &= (-4)^2(p/2)_2\phi''(0)\\&=16\bigl\{(p/2)(p/2 + 1)\bigr\}\phi''(0)\\&=4p(p+2)\phi''(0)\end{align}

となる。□

\(\boldsymbol{Y}= R\boldsymbol{U}\)の高次モーメントを考える。\(R = \boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\)の二次形式の奇数次モーメントを計算することで、\(R\)の奇数次モーメントは\(0\)であることが分かる。故に、\(\boldsymbol{Y}\)の奇数次モーメントは\(0\)である。次がいえる。

\begin{align}\label{eq6}\mathrm{E}\bigl[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)(X_k-\mu_k)\bigr] = 0.\tag{6}\end{align}

実際に、\(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu}\)の全ての奇数次モーメントは\(0\)である。

\(\mathrm{E}[U_iU_jU_kU_l]\)を考える。\(\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U} =1\)より

\begin{align} 1 &= \mathrm{E}\bigl([\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U})^2\bigr]\\&= \sum_{i,j = 1}^p\mathrm{E}[U_i^2U_j^2]\\&=\sum_{i=1}^p\mathrm{E}[U_i^4] + \sum_{\substack{i,j=1\\i\neq j}}^p\mathrm{E}[U_i^2U_j^2]\\\label{eq7}&= p\mathrm{E}[U_1^4] + p(p-1)\mathrm{E}[U_1^2U_2^2]\tag{7}\end{align}

\(\mathrm{E}[U_1^4]\)を求める。\(\mathrm{E}[U_1^4] =\mathrm{E}[\sin^4\Theta_1]\)であることから、このモーメントを計算する。

\begin{align}\mathrm{E}[\sin^4\Theta_1^4] &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4\theta_1 \cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)\cos^{p-2}\theta_1}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]}d\theta_1\\&= \cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^4\theta_1\cos^{p-2}\theta_1 d\theta_1\\&=\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]} \int_0^1u^{\frac{1}{2}(p-1) - 1}(1-u)^{\frac{5}{2}-1}du\\&=\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}p)}{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]} \cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr]\Gamma(\frac{5}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p+4)\bigr]} \\&= \frac{3}{p(p+2)}.\end{align}

したがって、\eqref{eq7}について次が成り立つ

\begin{align}&1 = p\mathrm{E}[U_1^4] + p(p-1)\mathrm{E}[U_1^2U_2^2]\\ & \Leftrightarrow 1 = \cfrac{3p}{p(p+2)} + p(p-1)\mathrm{E}[U_1^2U_2^2] \\&\Leftrightarrow \cfrac{p(p+2) - 3p}{p(p+2)}= p(p-1)\mathrm{E}[U_1^2U_2^2]\\ &\Leftrightarrow \mathrm{E}[U_1^2U_2^2] = \cfrac{1}{p(p+2)}\end{align}

よって、\(Y_i^4\)と\(Y_i^2Y_j^2\)のモーメントが次のように導出される。

\begin{align}\mathrm{E}[Y_i^4] &= \mathrm{E}\bigl[(RU_i)^4\bigr] \\&= \mathrm{E}[R^4]\mathrm{U_i^4}\\&= \cfrac{3\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)},\end{align}\begin{align}\mathrm{E}[Y_i^2Y_j^2] &= \mathrm{E}[R^4]\mathrm{E}[U_i^2U_j^2]\\&=\cfrac{\mathrm{E}[R^4]}{p(p+2)}.\end{align}

注意として、\(i=j=k=l\)、\(i=j\neq k=l\)、\(i=k\neq l=j\)、\(i=l\neq j=k\)出ない限り、\(\mathrm{E}[U_iU_jU_kU_l]=0\)である。これは黒ネッカーのデルタによって次のように表現できる。

\begin{align}\mathrm{E}[U_iU_jU_kU_l]= \cfrac{\delta_{ij}\delta_{kl} + \delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}}{p(p+2)}\end{align}

一般の場合の4次モーメント\(\mathrm{E}[(X_i - \mu_i )(X_j - \mu_j )(X_k- \mu_k )(X_l- \mu_l )]\)は次の楕円型分布のモーメントとキュムラントで導出する。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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