楕円型分布

様々な楕円型分布

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様々な楕円型分布

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ここでは、楕円型分布の具体例をみていく。

多変量正規分布以外にも、多変量t分布や混合正規分布などを紹介する。

多変量正規分布

まず、多変量正規分布についてみていく。

多変量正規分布

\(\boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\)とする。このとき、確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)は次の確率密度関数をもつ。

\begin{align}f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) = \cfrac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}} |\boldsymbol{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}}\exp\left[-\cfrac{1}{2}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})\right]. \end{align}

多変量正規分布の分布、モーメント、性質については多変量正規分布を参照されたい。

多変量t分布

次に、多変量t分布(multivariate t-distribution)についてみていく。

多変量t分布

\(\boldsymbol{Z}\sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I}_p)\)、\(ms^2 \overset{d}{=}\chi_m^2\)とおき、\(\boldsymbol{Z}\)と\(s^2\)は独立であると仮定する。\(\boldsymbol{Y}= (1/s)\boldsymbol{Z}\)と定義する。このとき、\(\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}\label{eq1}f_{\boldsymbol{Y}}(\boldsymbol{Y}) = \cfrac{\Gamma(\frac{m+p}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2}) m^{\frac{p}{2}}\pi^{\frac{p}{2}}} \left(1 + \cfrac{\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}}{m}\right)^{-\frac{m+p}{2}}.\tag{1}\end{align}

さらに

\begin{align}\|\boldsymbol{Y}\|^2 &= \|\boldsymbol{Z}/ s\|^2\\&= \cfrac{\boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Z}}{ms^2/m} \\&= \cfrac{\boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Z}}{\chi_m^2/m}\end{align}

であることから、次が成り立つ。

\begin{align}\label{eq2}\cfrac{R^2}{p} &= \cfrac{\|\boldsymbol{Y}\|^2}{p}\\&\overset{d}{=}\cfrac{1}{p}\cfrac{\boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Z}}{\chi_m^2/m} \\&= \cfrac{m}{p}\cfrac{\chi_p^2}{\chi_m^2}\end{align}

よって次のように、多変量t分布に従う統計量からF分布に従う統計量を構成することが可能である。

\begin{align}\cfrac{R^2}{p} = \cfrac{\|\boldsymbol{Y}\|^2}{p} \sim F_{p,m}  = \cfrac{m}{p}\cfrac{\chi_p^2}{\chi_m^2}.\end{align}

また、\(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{CY}\)のとき、\(\boldsymbol{X}\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}\label{eq3}f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) =\cfrac{\Gamma(\frac{m+p}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})m^{\frac{p}{2}}\pi^{\frac{p}{2}}} |\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}\left[1 + \cfrac{(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})}{m}\right]^{-\frac{1}{2}(m+p)}.\tag{3}\end{align}

\(\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})\)の変換のヤコビアンは

\begin{align} \left|\cfrac{\partial \boldsymbol{Y}}{\partial \boldsymbol{X}}\right| &= |\boldsymbol{C}^{-1}|\\&= |\boldsymbol{C}|^{-1}\end{align}

であることから、\eqref{eq1}の確率密度関数より\eqref{eq3}を得る。

\begin{align}f(\boldsymbol{x}) &= \cfrac{\Gamma(\frac{m+p}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})m^{\frac{p}{2}}\pi^{\frac{p}{2}}} \left[1 + \cfrac{(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{C}^{-1})^T\boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})}{m}\right]^{-\frac{m+p}{2}} \mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial \boldsymbol{Y}}{\partial \boldsymbol{X}}\right| \\&=\cfrac{\Gamma(\frac{m+p}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})m^{\frac{p}{2}}\pi^{\frac{p}{2}}} |\boldsymbol{\Lambda}|^{-\frac{1}{2}}\left[1 + \cfrac{(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{X} - \boldsymbol{\mu})}{m}\right]^{-\frac{m+p}{2}}\end{align}

混合正規分布

混合正規分布(Contaminated normal distribution)についてみていく。混合正規分布は、比例的な共分散行列と同じ平均をもつ2つの正規分布を混ぜたものである。確率密度関数は次のように書ける。

混合正規分布

\begin{align}\label{eq4} (1- \varepsilon)\cfrac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}} |\boldsymbol{\Lambda}|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})} + \varepsilon\cfrac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}} |c\boldsymbol{\Lambda}|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2c}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}))^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})},\tag{4}\end{align}

ここに、\(c>0\)かつ\(0 \leq \varepsilon \leq 1\)である。

普通\(\varepsilon\)は非常に小さく、反対に\(c\)は非常に大きい。

Mixtures of normal distribution

最後に、正規分布の合成(Mixitures of normal distribution)について紹介する。

Mixtures of normal distribution

\(w(v)\)を\(0 \leq v < \infty\)における累積分布関数とする。このとき、正規分布の合成(Mixtures of normal distribution)は次のように定義される。

\begin{align}\label{eq5}\int_0^{\infty} n(\boldsymbol{x} | \boldsymbol{\mu}, \frac{1}{v^2}\boldsymbol{\Sigma}|)dw(v).\tag{5}\end{align}

この確率密度関数をもつ確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)は\(\boldsymbol{X}= w\boldsymbol{Z}\)で表すことができる。ここに\(\boldsymbol{Z} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\)、\(w \sim w(v)\)であり、これらは互いに独立であるとする。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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