楕円型分布

楕円分布 線形結合の分布と周辺分布

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楕円分布 線形結合の分布と周辺分布

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多変量正規分布などの分布を含む楕円型分布の線形結合の分布やその周辺分布についてみていく。

多変量正規分布の線形結合の分布や多変量正規分布の周辺分布を、楕円型分布の場合に一般化していく。

多変量正規分布の線形結合の分布については、多変量正規分布の線形結合の分布、確率変数の独立性を参照されたい。

線形結合の分布と周辺分布

まず\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)の確率密度関数をもつ球面分布を考える。\(\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{y}_1^T, \boldsymbol{y}_2^T)\)とし、ここに\(\boldsymbol{y}_1\)と\(\boldsymbol{y}_2\)はそれぞれ\(q\)個、\(p-q\)個の要素から成る。このとき、\(\boldsymbol{y}_1\)について積分することで、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺密度関数は次で与えられる。

\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}) dy_1\cdots dy_q \\\label{eq1}&=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) dy_1\cdots dy_q .\tag{1}\end{align}

\(\boldsymbol{y}_1\)を楕円型分布の(4)式の\(r\)を\(r_1\)、\(p\)を\(q\)で置き換えて極座標変換を行う。このとき\(g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2 )\)について

\begin{align}g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2 ) &= g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_1)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{q-1}, r_1)}\right|\end{align}

であることから、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺密度関数次となる。

\begin{align}g_2(\boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) &= \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\infty} g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_1)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{q-1}, r_1)}\right|dr_1d \theta_1\cdots d\theta_{q-2}d\theta_{q-1}\\&= \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\infty}   \cos^{q-2}\theta_1\cos^{q-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{q-2}d\theta_1\cdots d\theta_{q-2}d\theta_{q-1}\int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)  r_1^{q-1}dr_1 \\\label{eq2}&= C(q) \int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)  r_1^{q-1}dr_1.\tag{2}\end{align}

これは、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺分布は球面分布の確率密度関数をもつことを意味する。

ここで、楕円型分布の(2)式で与えられる楕円型分布の確率密度関数をもつ確率ベクトル\(\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{X}^{(1)T} , \boldsymbol{X}^{(2)T})\)を考える。\(\mathrm{E}[R^2] < \infty\)のとき、\(\boldsymbol{X}\)の共分散行列は、多変量正規分布の周辺分布の(14)式、(15)式のようなブロック行列で表現される。

\begin{align}\boldsymbol{Z}^{(1)} &= \boldsymbol{X}^{(1)}- \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{X}^{(1)} - \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{X}^{(2)},\\\boldsymbol{Z}^{(2)} &= \boldsymbol{X}^{(2)},\\\boldsymbol{\tau}^{(1)} &= \boldsymbol{\nu}^{(1)}-\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\nu}^{(2)} = \boldsymbol{\nu}^{(1)} - \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1} \boldsymbol{\nu}^{(2)},\\\boldsymbol{\tau}^{(2)} &= \boldsymbol{\nu}^{(2)}.\end{align}

と置く。この変換のヤコビアンは

\begin{align}\left|\cfrac{\partial(x_1, \ldots, x_p)}{\partial(z_1,\ldots, z_p)}\right|&=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x_1}{\partial z_1}&\cdots& \cfrac{\partial x_1}{\partial z_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial z_{q+1}} & \cdots & \cfrac{\partial x_1}{\partial z_p}\\\vdots & &\vdots&\vdots&&\vdots\\\cfrac{\partial x_q}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_q}&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_{q+1}}&\cdots&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_{p}}\\\cfrac{\partial x_1}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_1}&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_q}&\cdots&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_p}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\cfrac{\partial x_p}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_q}&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_{q+1}}&\cdots&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_p}\end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots &\vdots& & \vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}\\&=1\end{align}

であることから、\(\boldsymbol{Z}^T = (\boldsymbol{Z}^{(1)T}, \boldsymbol{Z}^{(2)T})\)の確率密度関数はとなる。

\begin{align}&|\boldsymbol{\lambda}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})\bigr)\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11}-\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})^T\bigr)\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})^T\bigr).\end{align}

さらに、\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{z}\)に変数変換することで、次の\(\boldsymbol{z}\)の確率密度関数を得る。

\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\Biggl[\begin{pmatrix}\bigl\{(\boldsymbol{z}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{z}^{(2)} -(\boldsymbol{\tau}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr\}^T & (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T \end{pmatrix}\\&\ \ \ \ \cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & -\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\\-\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1} + \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(\boldsymbol{z}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{z}^{(2)} -(\boldsymbol{\tau}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\tau}^{(2)})\\\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} \end{pmatrix}\Biggr]\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}\\&\ \ \ \ \cdot g\Bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T \boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ -(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) - (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ - (\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) - (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) \Bigr]\\&= |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr].\end{align}

ここで、多変量正規分布の線形結合の分布・独立性における変数変換から、\(\boldsymbol{Z}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{Z}^{(2)}\)は無相関である。\(\boldsymbol{C}_1\)と\(\boldsymbol{C}_2\)をそれぞれ\(\boldsymbol{C}_1^T \boldsymbol{\lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{C}_1 = \boldsymbol{I}_q\)、\(\boldsymbol{C}_2T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{C}_2 = \boldsymbol{I}_{p-q}\)を満たす\(q\times q\)行列、\((p-q)\times(p-q)\)行列とする。\(\boldsymbol{y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{y}^{(2)}\)を\(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)} = \boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)}\)、\(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} =\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)} =\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)}\)と定義する。この変換のヤコビアンは次となる。

\begin{align}\left|\cfrac{\partial(z_1, \ldots, z_p)}{\partial(y_1, \ldots, y_p)}\right| &= \begin{vmatrix}\cfrac{\partial \sum_{i=1}^qc_{1i }^{(1)}y_i + \tau_1}{\partial y_1} & \cdots & \cfrac{\partial \sum_{i=1}^qc_{1i }^{(1)}y_i + \tau_p}{\partial y_p}\\\vdots &&\vdots \\ \cfrac{\partial \sum_{i=q+1}^{p}c_{1i}^{(2)}y_{i} + \tau_1}{\partial y_1} &\cdots& \cfrac{\partial \sum_{i=q+1}^pc_{1i }^{(2)}y_i + \tau_p}{\partial y_1}\end{vmatrix}\\&= \begin{vmatrix}c_{11}^{(1)} & \cdots & c_{1q}^{(1)} & 0 & \cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots&&\vdots\\c_{q1}^{(1)} &\cdots&c_{qq}^{(1)}&0&\cdots&0\\0 &\cdots&0&c_{11}^{(2)} &\cdots&c_{1,p-q}^{(2)}\\\vdots &&\vdots&\vdots&&\vdots\\0 &\cdots&0&c_{p-q, 1}^{(2)} &\cdots&c_{p-q, p-q}^{(2)}\end{vmatrix}\\&=|\boldsymbol{C}_1|\cdot|\boldsymbol{C}_2|\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{\frac{1}{2}}\end{align}

したがって、\(\boldsymbol{Y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の同時密度関数\(g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{y}^{(1)} + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)})\)は次で与えられる。

\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}} \cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr]\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(z_1, \ldots, z_p)}{\partial(y_1, \ldots, y_p)}\right|\\ &= |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}} \cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)}) + (\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})\bigr]\cdot |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{\frac{1}{2}}\\&= g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{C}_1^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)} +  \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{C}_2^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})\\&= g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{y}^{(1)} + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)}).\end{align}

よって、\eqref{eq1}と同様に\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数を導出することができ、 \(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数は\eqref{eq2}となる。さらに、\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Z}^{(2)}\)の周辺密度関数は、\eqref{eq2}と同様に、楕円型分布の(4)式の\(r\)を\(r_1\)、\(p\)を\(q\)で置き換えて極座標変換を行うことで得られる。\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数は

\begin{align}g_2(\boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)})= C(q) \int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)})  r_1^{q-1}dr_1\end{align}

であることから、\(\boldsymbol{Z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} =\boldsymbol{Z}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)} = \boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)}\)の変換を行うことで、次の\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数を得る。

\begin{align}&g_2(\boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)} )\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_{q+1}, \ldots , y_p)}{\partial(z_{q+1}, \ldots , z_p)}\right|\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g_2\bigl[(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr]\\&=C(q) \int_0^{\infty}g\bigl[r_1^2 + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr]  r_1^{q-1}dr_1 \cdot \mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_{q+1}, \ldots, y_p)}{\partial(z_{q+1}, \ldots , z_p)}\right|\\ \label{eq4}&= C(q) |\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}\int_0^{\infty}g\bigl[r_1^2 + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr]  r_1^{q-1}dr_1.\tag{4}\end{align}

\eqref{eq4}から、\(\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数を用いて\(\boldsymbol{Y}_2\)の周辺密度関数を表現することができるので、\(\boldsymbol{Y}_2\)のモーメントは、\(\boldsymbol{Y}\)のモーメントから研鑽することができる。多変量正規分布の線形結合の分布と独立性の定理を楕円型分布に拡張する。\(p\)個の要素から成る\(\boldsymbol{X}\)は、楕円型分布の(2)式の確率密度関数をもつとする。このとき正則行列\(\boldsymbol{C}\)に対し、\(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{CX}\)は、確率密度関数

\(|\boldsymbol{C\Lambda C}^T|^{-\frac{1}{2}} g[(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{C\nu})^T (\boldsymbol{C\Lambda C}^T)^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{C\nu})]\)

をもつ。定理の楕円型分布への一般化は次のとおりである。

定理1 楕円型分布の線形結合の分布

\(\boldsymbol{X}\)が楕円型分布の(2)式の確率密度関数を持つとき、\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{DX}\)は次の確率密度関数を持つ。\begin{align} \label{eq5}|\boldsymbol{D \Lambda D}^T|^{-\frac{1}{2}} g_2\Bigl[(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu})^T(\boldsymbol{D\Lambda D}^T)^{-1}(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu}) \Bigr],\tag{5}\end{align}ここに、\(\boldsymbol{D}\)は、ランク\(q\leq p\)の\(q \times p\)行列であり、\(g_2\)は\eqref{eq2}の確率密度関数とする。

証明 正則変換となるような互いに一次線形独立な\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}) = p- q\)の行列\(\boldsymbol{E}\)を用いて、\(\boldsymbol{X}\)に対し次の変換を行う。

\begin{align}\begin{pmatrix}\boldsymbol{Z}\\\boldsymbol{W}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{D}\\\boldsymbol{E}\end{pmatrix} \boldsymbol{X}.\end{align}

\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{DX}\)の確率密度関数を求める。期待値と共分散行列は、\(\mathrm{E}[\boldsymbol{Z}= \boldsymbol{D}\boldsymbol{\nu}\)、\(\mathrm{Var}[\boldsymbol{DX}] = \boldsymbol{D}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{D}^T\)である。\eqref{eq4}は\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Z}^{(2)}\)の任意の\(p-q\)個の要素から成る平均ベクトル\(\mathrm{E}[\boldsymbol{X}^{(2)}] = \boldsymbol{\nu}^{(2)}\)、共分散行列\(\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}^{(2)}] = \boldsymbol{\Lambda}_{22}\)の確率ベクトルであることより、\(\boldsymbol{Z}^{(2)} = \boldsymbol{Z} \)、\(p-q = q\) へと置き換える。よって、\(\boldsymbol{Z}\)の確率密度関数は

\begin{align}|\boldsymbol{D\Lambda D}^T|^{-\frac{1}{2}}g_2\Bigl[(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu})^T(\boldsymbol{D\Lambda D}^T)^{-1}(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu})\Bigr]\end{align}

となる。□

球面分布のベクトル表現の(1)式の形で、周辺分布を表現することができる。次を考える。

\begin{align}\label{eq6}\boldsymbol{Y} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{Y}^{(1)} \\ \boldsymbol{Y}^{(2)}\end{pmatrix} \overset{d}{=} = R\boldsymbol{U}  = R\begin{pmatrix}\boldsymbol{U}^{(1)}\\\boldsymbol{U}^{(2)},\tag{6}\end{pmatrix}\end{align}

ここに、\(\boldsymbol{Y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{U}^{(1)}\)は\(q\)この要素から成り、\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)と\(\boldsymbol{U}^{(2)}\)は\(p-q\)この要素から成るとする。このとき、\(R_2^2 = \boldsymbol{Y}^{(2)T} \boldsymbol{Y}^{(2)}\)は\(R^2\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)}\)の分布を持つ。さらに、

\begin{align}\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)} &= \cfrac{\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)}}{\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}} \\ &\overset{d}{=} \cfrac{R^2\boldsymbol{U}^{(2)T} \boldsymbol{U}^{(2)}}{R^2\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}}\\\label{eq7}&= \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T} \boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{U}^T \boldsymbol{U}}.\tag{7}\end{align}

定理2 球面分布とベータ分布

\(\boldsymbol{Y}\sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I}_p)\)の場合、\eqref{eq7}はβ分布\(B[\tfrac{1}{2}(p-q), \tfrac{1}{2}q]\)に従い、その確率密度関数は次で与えられる。\begin{align}\label{eq8}\cfrac{\Gamma(p/2)}{\Gamma(q/2)\Gamma\bigl[(p-q)/2\bigr]}z^{\frac{1}{2}(p-q)-1}(1-z)^{\frac{1}{2}q - 1},\ \ \ \ 0\leq z\leq 1.\tag{8}\end{align}一般的に\begin{align}\label{eq9}\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2\boldsymbol{V},\tag{9}\end{align}ここに、\(R_2^2 \overset{d}{=} R^2b,\ b\sim B[\tfrac{1}{2}(p-q), \tfrac{1}{2}q] \)、\(\boldsymbol{V}\)は\(p_2\)次元において、\(\boldsymbol{v}^T\boldsymbol{v} = 1\)の一様分布に従う。また、\(R^2\)、\(b\)、\(\boldsymbol{V}\)は独立である。すべての周辺分布は楕円型分布である。

証明 \(\boldsymbol{Y}\sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I}_p)\)の場合の\eqref{eq7}の分布を導出する。\eqref{eq7}は

\begin{align}\cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}} &= \cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^py_i^2}\\ &= \cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^qy_i^2 + \sum_{i=q+1}^p y_i^2}, \end{align}

で表され、\(Y_i \sim N(0,1),\ i=1, \ldots, p\)であることから、上式は次で表される。

\begin{align}\cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^qy_i^2 + \sum_{i=q+1}^p y_i^2}\label{eq10}&= \cfrac{\chi_p^2}{\chi_q^2 + \chi_{p-q}^2},\tag{10}\end{align}

ここに、\(\chi_n^2\)は自由度\(n\)のカイ2乗分布である。ここで、次のベータ分布とカイ2二乗分布の関係を用いる。

\begin{align}B(\tfrac{1}{2}m, \tfrac{1}{2}n) \overset{d}{=} \cfrac{\chi_m^2}{\chi_{m}^2 + \chi_n^2}.\end{align}

したがって、\eqref{eq10}は、次のように書ける。

\begin{align}\cfrac{\chi_p^2}{\chi_q^2 + \chi_{p-q}^2} \sim B(\tfrac{1}{2}(p-q), \tfrac{1}{2}q).\end{align}

さらに、\eqref{eq7}より

\begin{align}&\cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}} \overset{d}{=} b\\ & \Leftrightarrow \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{R^2\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}} \overset{d}{=} b \\ & \Leftrightarrow \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{R^2\cdot1} \overset{d}{=} b\\\label{eq11}& \Leftrightarrow \boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R^2b\tag{11}\end{align}

がいえる。また、\(\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2\boldsymbol{V}\)おくと

\begin{align}&\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2\boldsymbol{V}\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2^2\boldsymbol{V}^T\boldsymbol{V}\end{align}

を得る。よって\eqref{eq11}から

\begin{align}R_2^2\overset{d}{=} R^2 b\end{align}

である。故に、定理2が示せた。□

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usagi-san

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