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【統計学】確率分布の無記憶性

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【統計学】確率分布の無記憶性

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確率分布の重要な性質である無記憶性について解説する。

無記憶性の定義を紹介し、幾何分布と指数分布についてこの性質が成り立つことを示す。

無記憶性

定義1 離散確率分布の無記憶性

集合\(\{0, 1, 2, \ldots\}\)上の離散確率変数を\(X\)とする。\(m, n\in\{0, 1, 2, \ldots\}\)次が成り立つとき、\(X\)の従う分布は無記憶性をもつという。\begin{align}\label{eq1}\mathrm{Pr}\{X > m + n | X >m\} = \mathrm{Pr}\{X > n\},\tag{1}\end{align}ここに、\(\mathrm{Pr}\{X > m+n | X\geq m\}\)は、\(X\)が\(m\)より大きいとき、\(X\)が\(m+n\)より大きくなる条件付き確率である。

定義2 連続分布の無記憶性

集合\([0, \infty)\)上の連続確率変数を\(X\)とする。\(t, s\in [0, \infty)\)次が成り立つとき、\(X\)の従う分布は無記憶性をもつという。\begin{align}\label{eq2}\mathrm{Pr}\{X > t + s | X > t\} = \mathrm{Pr}\{X > s\},\tag{2}\end{align}

定義1定義2から分かるように、「無記憶性」とは、特定のイベントまでの時間に関する分布が、経過した時間に依存しないことを意味します。

様々な分布の無記憶性

幾何分布

幾何分布の無記憶性を示す。

確率変数\(X\)は幾何分布に従うとする。このとき\(X\)は次の確率関数を持つ。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{ X = k\} = (1-p)^{k-1}p,\ \ k = 1, 2, \ldots.\end{align}

ここで、条件付き確率の定義より、\(\mathrm{Pr}\{X > m + n | X \geq m\}\)は次のように書き換えられる。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{X > m + n | X > m\} &= \cfrac{\mathrm{Pr}\{X > m + n, X > m \}}{\mathrm{Pr}\{X > m\}}\\\label{eq3}&= \cfrac{\mathrm{Pr}\{X > m + n\}}{\mathrm{Pr}\{X > m\}}.\tag{3}\end{align}

上式の右辺に幾何分布の分布関数を適用することで次が成り立つ。

\begin{align}\cfrac{\mathrm{Pr}\{X > m + n\}}{\mathrm{Pr}\{X > m\}} &= \cfrac{1 - \mathrm{Pr}\{X \leq m+n\}}{1- \mathrm{Pr}\{X \leq m\}}\\&= \cfrac{1-\bigl\{1-(1-p)^{m+n }\bigr\} }{1-\bigl\{1- (1-p)^{m}\bigr\}}\\&= \cfrac{(1-p)^{m+n }}{(1-p)^{m}} \\ &= (1-p)^{n} \\&= 1 -\bigl\{1-(1-p)^{n}\bigr\}\\ &= \mathrm{Pr}\{X \geq n-1\}\\&= \mathrm{Pr}\{X > n\}\end{align}

よって、幾何分布に従う確率変数は\eqref{eq1}を満たすことが示された。故に、幾何分布は無記憶性をもつ。

指数分布

指数分布の無記憶性を示す。

確率変数\(X\)は幾何分布に従うとする。このとき\(X\)は次の確率関数を持つ。

\begin{align}f_X(x) = \left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{\lambda x},& x \geq 0,\\ 0, & x < 0. \end{array}\right.\end{align}

条件付き確率の定義から、\eqref{eq2}は次のように書き換えられる。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{X > t + s | X > t\} &= \cfrac{\mathrm{Pr}\{X > t+s, X > t\}}{\mathrm{Pr}\{X>t\}}\\&= \cfrac{\mathrm{Pr}\{X > t+s\}}{\mathrm{Pr}\{X>t\}}.\end{align}

上式の右辺に指数分布の分布関数を適用することで次が成り立つ。

\begin{align}\cfrac{\mathrm{Pr}\{X > t+ s\}}{\mathrm{Pr}\{X > t\}} &= \cfrac{1 - \mathrm{Pr}\{X \leq t+s\}}{1- \mathrm{Pr}\{X \leq t\}} \\ &= \cfrac{1-\bigl\{1- e^{-\lambda(t+s)}\bigr\}}{1 - \bigl\{1 - e^{-\lambda t}\bigr\}}\\&= \cfrac{ e^{-\lambda(t+s)} }{e^{-\lambda t}}\\&=e^{-\lambda s}\\&= 1 \bigl\{1 -  e^{-\lambda s}\bigr\}\\ &=\mathrm{Pr}\{X \geq s\} \\&= \mathrm{Pr}\{X > s\}. \end{align}

したがって、指数分布に従う確率変数に対して、\eqref{eq2}が成り立つ。故に指数分布は無記憶性をもつ。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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