多変量正規分布などの分布を含む楕円型分布の線形結合の分布やその周辺分布についてみていく。
多変量正規分布の線形結合の分布や多変量正規分布の周辺分布を、楕円型分布の場合に一般化していく。
多変量正規分布の線形結合の分布については、多変量正規分布の線形結合の分布、確率変数の独立性を参照されたい。
線形結合の分布と周辺分布
まず\(g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)の確率密度関数をもつ球面分布を考える。\(\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{y}_1^T, \boldsymbol{y}_2^T)\)とし、ここに\(\boldsymbol{y}_1\)と\(\boldsymbol{y}_2\)はそれぞれ\(q\)個、\(p-q\)個の要素から成る。このとき、\(\boldsymbol{y}_1\)について積分することで、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺密度関数は次で与えられる。
\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}) dy_1\cdots dy_q \\\label{eq1}&=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) dy_1\cdots dy_q .\tag{1}\end{align}
\(\boldsymbol{y}_1\)を楕円型分布の(4)式の\(r\)を\(r_1\)、\(p\)を\(q\)で置き換えて極座標変換を行う。このとき\(g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2 )\)について
\begin{align}g(\boldsymbol{y}_1^T\boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2 ) &= g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_1)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{q-1}, r_1)}\right|\end{align}
であることから、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺密度関数次となる。
\begin{align}g_2(\boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) &= \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\infty} g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_1)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{q-1}, r_1)}\right|dr_1d \theta_1\cdots d\theta_{q-2}d\theta_{q-1}\\&= \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\infty} \cos^{q-2}\theta_1\cos^{q-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{q-2}d\theta_1\cdots d\theta_{q-2}d\theta_{q-1}\int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) r_1^{q-1}dr_1 \\\label{eq2}&= C(q) \int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}_2^T\boldsymbol{y}_2) r_1^{q-1}dr_1.\tag{2}\end{align}
これは、\(\boldsymbol{y}_2\)の周辺分布は球面分布の確率密度関数をもつことを意味する。
ここで、楕円型分布の(2)式で与えられる楕円型分布の確率密度関数をもつ確率ベクトル\(\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{X}^{(1)T} , \boldsymbol{X}^{(2)T})\)を考える。\(\mathrm{E}[R^2] < \infty\)のとき、\(\boldsymbol{X}\)の共分散行列は、多変量正規分布の周辺分布の(14)式、(15)式のようなブロック行列で表現される。
\begin{align}\boldsymbol{Z}^{(1)} &= \boldsymbol{X}^{(1)}- \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{X}^{(1)} - \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{X}^{(2)},\\\boldsymbol{Z}^{(2)} &= \boldsymbol{X}^{(2)},\\\boldsymbol{\tau}^{(1)} &= \boldsymbol{\nu}^{(1)}-\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\nu}^{(2)} = \boldsymbol{\nu}^{(1)} - \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1} \boldsymbol{\nu}^{(2)},\\\boldsymbol{\tau}^{(2)} &= \boldsymbol{\nu}^{(2)}.\end{align}
と置く。この変換のヤコビアンは
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(x_1, \ldots, x_p)}{\partial(z_1,\ldots, z_p)}\right|&=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x_1}{\partial z_1}&\cdots& \cfrac{\partial x_1}{\partial z_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial z_{q+1}} & \cdots & \cfrac{\partial x_1}{\partial z_p}\\\vdots & &\vdots&\vdots&&\vdots\\\cfrac{\partial x_q}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_q}&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_{q+1}}&\cdots&\cfrac{\partial x_q}{\partial z_{p}}\\\cfrac{\partial x_1}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_1}&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_q}&\cdots&\cfrac{\partial x_{q+1}}{\partial z_p}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\cfrac{\partial x_p}{\partial z_1}&\cdots&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_q}&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_{q+1}}&\cdots&\cfrac{\partial x_p}{\partial z_p}\end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots &\vdots& & \vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}\\&=1\end{align}
であることから、\(\boldsymbol{Z}^T = (\boldsymbol{Z}^{(1)T}, \boldsymbol{Z}^{(2)T})\)の確率密度関数はとなる。
\begin{align}&|\boldsymbol{\lambda}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\nu})\bigr)\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11}-\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})^T\bigr)\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl((\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(1)T}-\boldsymbol{\nu}^{(1)T}, \boldsymbol{x}^{(2)T}-\boldsymbol{\nu}^{(2)T})^T\bigr).\end{align}
さらに、\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{z}\)に変数変換することで、次の\(\boldsymbol{z}\)の確率密度関数を得る。
\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\Biggl[\begin{pmatrix}\bigl\{(\boldsymbol{z}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{z}^{(2)} -(\boldsymbol{\tau}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr\}^T & (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T \end{pmatrix}\\&\ \ \ \ \cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & -\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\\-\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1} & \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1} + \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(\boldsymbol{z}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{z}^{(2)} -(\boldsymbol{\tau}^{(1)} + \boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\tau}^{(2)})\\\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} \end{pmatrix}\Biggr]\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}\\&\ \ \ \ \cdot g\Bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T \boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ -(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) - (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T \boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ - (\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) - (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\\&\ \ \ \ + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{21}\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}_{12}\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)}) \Bigr]\\&= |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr].\end{align}
ここで、多変量正規分布の線形結合の分布・独立性における変数変換から、\(\boldsymbol{Z}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{Z}^{(2)}\)は無相関である。\(\boldsymbol{C}_1\)と\(\boldsymbol{C}_2\)をそれぞれ\(\boldsymbol{C}_1^T \boldsymbol{\lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{C}_1 = \boldsymbol{I}_q\)、\(\boldsymbol{C}_2T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{C}_2 = \boldsymbol{I}_{p-q}\)を満たす\(q\times q\)行列、\((p-q)\times(p-q)\)行列とする。\(\boldsymbol{y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{y}^{(2)}\)を\(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)} = \boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)}\)、\(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} =\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)} =\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)}\)と定義する。この変換のヤコビアンは次となる。
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(z_1, \ldots, z_p)}{\partial(y_1, \ldots, y_p)}\right| &= \begin{vmatrix}\cfrac{\partial \sum_{i=1}^qc_{1i }^{(1)}y_i + \tau_1}{\partial y_1} & \cdots & \cfrac{\partial \sum_{i=1}^qc_{1i }^{(1)}y_i + \tau_p}{\partial y_p}\\\vdots &&\vdots \\ \cfrac{\partial \sum_{i=q+1}^{p}c_{1i}^{(2)}y_{i} + \tau_1}{\partial y_1} &\cdots& \cfrac{\partial \sum_{i=q+1}^pc_{1i }^{(2)}y_i + \tau_p}{\partial y_1}\end{vmatrix}\\&= \begin{vmatrix}c_{11}^{(1)} & \cdots & c_{1q}^{(1)} & 0 & \cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots&&\vdots\\c_{q1}^{(1)} &\cdots&c_{qq}^{(1)}&0&\cdots&0\\0 &\cdots&0&c_{11}^{(2)} &\cdots&c_{1,p-q}^{(2)}\\\vdots &&\vdots&\vdots&&\vdots\\0 &\cdots&0&c_{p-q, 1}^{(2)} &\cdots&c_{p-q, p-q}^{(2)}\end{vmatrix}\\&=|\boldsymbol{C}_1|\cdot|\boldsymbol{C}_2|\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{\frac{1}{2}}\end{align}
したがって、\(\boldsymbol{Y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の同時密度関数\(g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{y}^{(1)} + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)})\)は次で与えられる。
\begin{align}&|\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}} \cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(1)} - \boldsymbol{\tau}^{(1)}) + (\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)})\bigr]\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(z_1, \ldots, z_p)}{\partial(y_1, \ldots, y_p)}\right|\\ &= |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{-\frac{1}{2}} \cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g\bigl[(\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}(\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)}) + (\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})\bigr]\cdot |\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}|^{\frac{1}{2}}\cdot|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{\frac{1}{2}}\\&= g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{C}_1^T\boldsymbol{\Lambda}_{11\cdot2}^{-1}\boldsymbol{C}_1\boldsymbol{y}^{(1)} + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{C}_2^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}\boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)})\\&= g(\boldsymbol{y}^{(1)T}\boldsymbol{y}^{(1)} + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)}).\end{align}
よって、\eqref{eq1}と同様に\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数を導出することができ、 \(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数は\eqref{eq2}となる。さらに、\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Z}^{(2)}\)の周辺密度関数は、\eqref{eq2}と同様に、楕円型分布の(4)式の\(r\)を\(r_1\)、\(p\)を\(q\)で置き換えて極座標変換を行うことで得られる。\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数は
\begin{align}g_2(\boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)})= C(q) \int_0^{\infty}g(r_1^2 + \boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)}) r_1^{q-1}dr_1\end{align}
であることから、\(\boldsymbol{Z}^{(2)} - \boldsymbol{\tau}^{(2)} =\boldsymbol{Z}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)} = \boldsymbol{C}_2\boldsymbol{y}^{(2)}\)の変換を行うことで、次の\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Y}^{(2)}\)の周辺密度関数を得る。
\begin{align}&g_2(\boldsymbol{y}^{(2)T}\boldsymbol{y}^{(2)} )\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_{q+1}, \ldots , y_p)}{\partial(z_{q+1}, \ldots , z_p)}\right|\\&=|\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}g_2\bigl[(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr]\\&=C(q) \int_0^{\infty}g\bigl[r_1^2 + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr] r_1^{q-1}dr_1 \cdot \mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_{q+1}, \ldots, y_p)}{\partial(z_{q+1}, \ldots , z_p)}\right|\\ \label{eq4}&= C(q) |\boldsymbol{\Lambda}_{22}|^{-\frac{1}{2}}\int_0^{\infty}g\bigl[r_1^2 + (\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})^T\boldsymbol{\Lambda}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(2)} - \boldsymbol{\nu}^{(2)})\bigr] r_1^{q-1}dr_1.\tag{4}\end{align}
\eqref{eq4}から、\(\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数を用いて\(\boldsymbol{Y}_2\)の周辺密度関数を表現することができるので、\(\boldsymbol{Y}_2\)のモーメントは、\(\boldsymbol{Y}\)のモーメントから研鑽することができる。多変量正規分布の線形結合の分布と独立性の定理を楕円型分布に拡張する。\(p\)個の要素から成る\(\boldsymbol{X}\)は、楕円型分布の(2)式の確率密度関数をもつとする。このとき正則行列\(\boldsymbol{C}\)に対し、\(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{CX}\)は、確率密度関数
\(|\boldsymbol{C\Lambda C}^T|^{-\frac{1}{2}} g[(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{C\nu})^T (\boldsymbol{C\Lambda C}^T)^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{C\nu})]\)
をもつ。定理の楕円型分布への一般化は次のとおりである。
定理1 楕円型分布の線形結合の分布
証明 正則変換となるような互いに一次線形独立な\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}) = p- q\)の行列\(\boldsymbol{E}\)を用いて、\(\boldsymbol{X}\)に対し次の変換を行う。
\begin{align}\begin{pmatrix}\boldsymbol{Z}\\\boldsymbol{W}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{D}\\\boldsymbol{E}\end{pmatrix} \boldsymbol{X}.\end{align}
\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{DX}\)の確率密度関数を求める。期待値と共分散行列は、\(\mathrm{E}[\boldsymbol{Z}= \boldsymbol{D}\boldsymbol{\nu}\)、\(\mathrm{Var}[\boldsymbol{DX}] = \boldsymbol{D}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{D}^T\)である。\eqref{eq4}は\(\boldsymbol{X}^{(2)} = \boldsymbol{Z}^{(2)}\)の任意の\(p-q\)個の要素から成る平均ベクトル\(\mathrm{E}[\boldsymbol{X}^{(2)}] = \boldsymbol{\nu}^{(2)}\)、共分散行列\(\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}^{(2)}] = \boldsymbol{\Lambda}_{22}\)の確率ベクトルであることより、\(\boldsymbol{Z}^{(2)} = \boldsymbol{Z} \)、\(p-q = q\) へと置き換える。よって、\(\boldsymbol{Z}\)の確率密度関数は
\begin{align}|\boldsymbol{D\Lambda D}^T|^{-\frac{1}{2}}g_2\Bigl[(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu})^T(\boldsymbol{D\Lambda D}^T)^{-1}(\boldsymbol{z} - \boldsymbol{D\nu})\Bigr]\end{align}
となる。□
球面分布のベクトル表現の(1)式の形で、周辺分布を表現することができる。次を考える。
\begin{align}\label{eq6}\boldsymbol{Y} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{Y}^{(1)} \\ \boldsymbol{Y}^{(2)}\end{pmatrix} \overset{d}{=} = R\boldsymbol{U} = R\begin{pmatrix}\boldsymbol{U}^{(1)}\\\boldsymbol{U}^{(2)},\tag{6}\end{pmatrix}\end{align}
ここに、\(\boldsymbol{Y}^{(1)}\)と\(\boldsymbol{U}^{(1)}\)は\(q\)この要素から成り、\(\boldsymbol{Y}^{(2)}\)と\(\boldsymbol{U}^{(2)}\)は\(p-q\)この要素から成るとする。このとき、\(R_2^2 = \boldsymbol{Y}^{(2)T} \boldsymbol{Y}^{(2)}\)は\(R^2\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)}\)の分布を持つ。さらに、
\begin{align}\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)} &= \cfrac{\boldsymbol{U}^{(2)T}\boldsymbol{U}^{(2)}}{\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}} \\ &\overset{d}{=} \cfrac{R^2\boldsymbol{U}^{(2)T} \boldsymbol{U}^{(2)}}{R^2\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}}\\\label{eq7}&= \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T} \boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{U}^T \boldsymbol{U}}.\tag{7}\end{align}
定理2 球面分布とベータ分布
証明 \(\boldsymbol{Y}\sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I}_p)\)の場合の\eqref{eq7}の分布を導出する。\eqref{eq7}は
\begin{align}\cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}} &= \cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^py_i^2}\\ &= \cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^qy_i^2 + \sum_{i=q+1}^p y_i^2}, \end{align}
で表され、\(Y_i \sim N(0,1),\ i=1, \ldots, p\)であることから、上式は次で表される。
\begin{align}\cfrac{\sum_{i=q+1}^p y_i^2}{\sum_{i=1}^qy_i^2 + \sum_{i=q+1}^p y_i^2}\label{eq10}&= \cfrac{\chi_p^2}{\chi_q^2 + \chi_{p-q}^2},\tag{10}\end{align}
ここに、\(\chi_n^2\)は自由度\(n\)のカイ2乗分布である。ここで、次のベータ分布とカイ2二乗分布の関係を用いる。
\begin{align}B(\tfrac{1}{2}m, \tfrac{1}{2}n) \overset{d}{=} \cfrac{\chi_m^2}{\chi_{m}^2 + \chi_n^2}.\end{align}
したがって、\eqref{eq10}は、次のように書ける。
\begin{align}\cfrac{\chi_p^2}{\chi_q^2 + \chi_{p-q}^2} \sim B(\tfrac{1}{2}(p-q), \tfrac{1}{2}q).\end{align}
さらに、\eqref{eq7}より
\begin{align}&\cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}} \overset{d}{=} b\\ & \Leftrightarrow \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{R^2\boldsymbol{U}^T\boldsymbol{U}} \overset{d}{=} b \\ & \Leftrightarrow \cfrac{\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)}}{R^2\cdot1} \overset{d}{=} b\\\label{eq11}& \Leftrightarrow \boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R^2b\tag{11}\end{align}
がいえる。また、\(\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2\boldsymbol{V}\)おくと
\begin{align}&\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2\boldsymbol{V}\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{Y}^{(2)T}\boldsymbol{Y}^{(2)} \overset{d}{=} R_2^2\boldsymbol{V}^T\boldsymbol{V}\end{align}
を得る。よって\eqref{eq11}から
\begin{align}R_2^2\overset{d}{=} R^2 b\end{align}
である。故に、定理2が示せた。□
