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【統計学】自由度が無限大のときのt分布 正規分布への収束

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【統計学】自由度が無限大のときのt分布 正規分布への収束

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自由度が無限大であるときのt分布について解説する。

自由度を大きくするとt分布に従う確率変数が正規分布へと収束する性質とその証明を行う。

自由度が無限大のときのF分布の性質については次の記事を参照。

自由度が無限大のときのt分布

自由度が無限であるときのt分布の性質を紹介する。次のように、t分布に従う確率変数は、自由度が十分大きいとき正規分布に従うことが知られている。

自由度が無限であるときのt分布

\(X\)を自由度\(n\)のt分布に従う確率変数とする。\(n\to \infty\)のとき\(X\)は次の確率密度関数

\begin{align} \label{eq1} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(-\cfrac{x^2}{2} \right) \tag{1} \end{align}

をもち、\(X \sim N(0, 1)\)である。

証明 \(X\)は自由度\(n\)のt分布に従うことから、次の確率密度関数を持つ。

\begin{align} \label{eq2} f_X(x) &= \cfrac{\Gamma\bigl[(n + 1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma(n/ 2)} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2}.\tag{2}\end{align}

ここで次のスターリングの公式

\begin{align}\Gamma(x) &= \sqrt{\cfrac{2\pi}{x}} \left( \cfrac{x}{e} \right)^x \left( 1 + O(x^{-1}) \right)\end{align}

より、\eqref{eq2}のガンマ関数の部分は次のように近似できる。

\begin{align}\cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)} &= \cfrac{\sqrt{\cfrac{2\pi}{(n+1) / 2}} \left\{ \cfrac{(n+1) / 2}{e} \right\}^{(n+1) / 2} \left( 1 + O\left( \bigl\{(n+1) / 2\bigr\}^{-1}\right) \right)}{\sqrt{n\pi } \sqrt{\cfrac{2\pi}{n /2}} \left( \cfrac{n / 2}{e} \right)^{n/ 2} \left( 1 + O\left( (n / 2)^{-1}\right) \right) } \\ &=\sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left\{\cfrac{n + 1}{n} \right\}^{n/  2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left(1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/  2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \end{align}

よってネイピア数の定義より、\(n\to \infty\)のとき

\begin{align} \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)}  &= \lim_{n \to\infty} \left[\sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/  2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \right] \\ &=\lim_{n \to\infty} \left[ \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/  2} + O(n^{-1} ) \right] \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left\{ \lim_{n \to\infty}\left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^n \right\}^{1/  2} + \lim_{n \to\infty} O(n^{-1} ) \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } e^{1/ 2} +  0  = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{align}

である。また、次のネイピア数の性質

\begin{align}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{x}{n} \right)^{n} = e^x\end{align}

より\((1 + x^2 / n )^{ -(n + 1)/ 2}\)は\(n\to \infty\)のとき

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2} &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right) \right\}^{-1/2} \\ &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right) \right\}^{-1/2} \\ &= \left\{ \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)\right\}^{-1 / 2} \\ &= \left\{ e^{x^2} (1 + 0)\right\}^{-1 / 2} \\ &=  \exp\left(-\cfrac{x^2}{2}\right)\end{align}

故に、\(n\to \infty\)のとき\(X\)の確率密度関数は次となる。

\begin{align} \lim_{n\to \infty} f_X(x) &= \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)} \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( - \cfrac{x^2}{2}\right).\end{align}

\eqref{eq1}が示された。

数値実験での確認

上で示した性質が実際に成り立っているかどうか数値実験で確認する。自由度が大きいときのt分布の確率密度関数を描くことで、どのような分布に近づいていくのかをみていく。

次のグラフは自由度1, 5, 10, 50のt分布の確率密度関数と標準正規分布の確率密度関数(黒線)をプロットしたものである。

t分布の収束

自由度が小さいときは分布の裾が標準正規分布の者よりも長いが、自由度を大きくしていくと裾が短くなり標準正規分布に近づくことが確認できる。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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