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【R言語】母分散の検定・一標本カイ二乗検定

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【R言語】母分散の検定・一標本カイ二乗検定

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R言語で母分散の検定を行う関数やその実行例を紹介していきます。

この記事では、一標本カイ二乗検定(one-sample chi squared test)と呼ばれる母分散の検定をRで行う方法を解説します。

二標本の等分散性の検定であるF検定については以下の記事を参照。

【R言語】分散の比の検定・F検定 関数var.testの使い方

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また、母分散の検定の詳細については以下の記事を参照。

【統計学】母分散の検定 一標本カイ二乗検定

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また、この記事で紹介する実行例は次のzipファイルに保存しています。

母分散の検定

母分散の検定の概要やその関数を以下にまとめます。

R言語での実行例が見たい方は、この下の実行例を参照してください。

母分散の検定

母分散の検定の概要は以下の通りです。

母分散の検定

正規分布\(N(\mu, \sigma^2)\)から大きさ\(n\)の無作為標本\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)の標本平均と不偏標本分散をそれぞれ\(\bar{x} =n^{-1} \sum_{i=1}^nx_i\)、\(s^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2\)とする。この標本に対応する確率変数をそれぞれ\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)としたとき、次の仮説検定を考える。

\begin{align}&H_0:\ \sigma^2 = \sigma_0^2\\ &H_1:\ \sigma^2 \neq \sigma_0^2\end{align}

この仮説検定の検定統計量は次で与えられる。

\begin{align}V = \cfrac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi_{n-1}^2,\end{align}

ここに\(S^2\)は次で定義される不偏標本分散の確率変数である。

\begin{align} S^2 &= \cfrac{1}{n-1}\sum_{i= 1}^n (X_i - \bar{X})^2,\\ \bar{X} &= \cfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i. \end{align}

また、有意水準\(\alpha\)の棄却域は次で与えられる。

\begin{align} [0, \chi_{n- 1, 1 - \alpha /2}) \cup (\chi_{n- 1, \alpha/2}), \end{align}

ここに、\(\chi_{n, \alpha}\)は自由度\(n\)のカイ二乗分布の上側\(\alpha\)点である。

1標本のt検定と同様に、帰無仮説で母分散の値を与える必要があります。2標本のF検定とは異なるので注意が必要です。

関数varTest

パッケージEnvStatsの関数varTestを用いることで母分散の検定を行うことができます。

以下varTestとその引数です。

varTest(x, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95, sigma.squared = 1, data.name = NULL)

関数varTestの引数
引数説明
xnumeric型のベクトル(観測値)。NAやNaN、infにも適用できるが除外される。
alternativecharacter型。"two.sided"で両側検定、"greater"で右片側検定、"less"左片側検定を指定できる。
conf.level信頼区間の信頼度数。
sigma.squared帰無仮説のときの母分散の値。
data.namecharacter型。検定に用いるデータの名前。

実行例

関数varTestをの実行例を以下に載せます。まず初めにパッケージEnvStatsをインストールしましょう。

データセットとして次のirisを用います。irisのSpeciesがsetosaであるSepal.Lengthの分散について検定を行いたいと思います。

SpeciesがsetosaであるSepal.Lengthのヒストグラムと箱ひげ図は次の画像のようになります。ヒストグラムを作ったのは、データの母集団分布に正規性の仮定が必要であるためです。また、箱ひげ図を描くことで標本標準偏差がだいたい0.1から0.2なのが分かります。

SpeciesがsetosaであるSepal.Lengthのヒストグラムと箱ひげ図

Sepal.Lengthの分散が経験的に0.1であると仮定し、「Sepal.Lengthの母分散が0.1であるか」という仮説検定を行いたいと思います。この検定を実行するには、関数varTestの引数sigma.squared0.1に指定します。testResultを参照すると、検定結果を見ることができます。

ポイント

「p-value = 0.2375」よりSepal.Lengthの分散は0.1であるという結論が得られました(分散は0.1ではないとは言えないことが言えた)。

この検定の結果を取得したいときは次のように、testResultの後ろに「$」を付ければ大丈夫です。検定統計量やp値、信頼区間を取得することができます。

検定結果をcsvファイル等に保存したいときは、次のようにdata.frameに検定結果をベクトルとして保存し、write.csvでcsvファイルに出力すればおkです。

母分散の検定結果

また、片側検定の例も紹介します。

分散2の正規分布から20個の乱数を発生させて、「母分散が1であるか、1より大きいか」という仮説検定を行ってみます。

右片側仮説検定を行うには、varTestの引数alternative"greater"に設定します。varTestを実行すると次の結果が得られます。

ポイント

「p-value = 1.31e-09」と書いてあるように母分散は1であるとは言えないことが分かりました。

また、この検定の結果の詳細は以下の通りです。

まとめ

R言語で母分散の検定を実行するパッケージや関数を紹介しました。

二標本の母分散の検定であるF検定はRのbaseに標準でインストールされていますが、一標本のカイ二乗検定はパッケージをインストールする必要があります。

パッケージEnvStatsvarTestで母分散の検定が可能です。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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