【統計学】自由度が無限大のときのF分布　カイ二乗分布への収束

自由度が無限大であるときのF分布について解説する。

第二自由度を大きくするとF分布に従う確率変数が第一自由度のカイ二乗分布布へと収束する性質とその証明を行う。

自由度が無限大のときのt分布の性質については次の記事を参照。

: 【統計学】自由度が無限大のときのt分布　正規分布への収束
自由度が無限大であるときのt分布について解説する。自由度を大きくするとt分布に従う確率変数が正規分布へと収束する性質とその証明を行う。自由度が無限大のときのF分布の性質については次の記事を参照。 ...
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自由度が無限大のときのF分布

自由度が無限であるときのF分布の性質を紹介する。次のように、F分布に従う確率変数に第一自由度を掛けたものは、第二自由度が十分大きいとき自由度が第一自由度であるカイ二乗分布に従うことが知られている。

自由度が無限であるときのF分布

\(X\)を第一自由度\(m\)、第二自由度\(n\)のF分布に従う確率変数とする。\(n\to \infty\)のとき\(mX\)は次の確率密度関数

\begin{align} \label{eq1} \cfrac{1}{2^{m/2} \Gamma(m / 2)} x^{m / 2 - 1}e^{-x / 2} \tag{1} \end{align}

をもち、\(mX \sim \chi_{m}^2\)である。

証明　\(X\)は自由度\(n\)のF分布に従うことから、次の確率密度関数を持つ。

\begin{align} f_X(x) &= \cfrac{1}{B( m/ 2, n / 2)} \left( \cfrac{m}{n} \right)^{ m/ 2} x^{m / 2 - 1} \left(1 + \cfrac{m}{n} x\right)^{- (m + n)/ 2} .\end{align}

ここで\(Y = m X\)の変換を考える。\(X = Y/ m\)より、この変換のヤコビアンは\(dx / dy = m^{-1}\)であることから、\(Y\)の確率密度関数は次となる。

\begin{align} g_Y(y) &=\cfrac{1}{B( m/ 2, n / 2)} \left( \cfrac{m}{n} \right)^{ m/ 2} \left( \cfrac{y}{m} \right)^{m / 2 - 1} \left(1 + \cfrac{m}{n} \cfrac{y}{m} \right)^{- (m + n)/ 2} \left|\cfrac{dx}{dy} \right| \\ &= \cfrac{\Gamma\bigl[ (m + n)/ 2 \bigr]}{\Gamma(m / 2) \Gamma( n/ 2)} \left( \cfrac{m}{n} \right)^{ m/ 2} \left( \cfrac{y}{m} \right)^{m / 2 - 1} \left(1 + \cfrac{y}{n} \right)^{- (m + n)/ 2} m^{-1} \\ \label{eq2} &= \cfrac{\Gamma\bigl[ (m + n)/ 2 \bigr]}{\Gamma(m / 2) \Gamma( n/ 2)} n^{- m/ 2} y^{ m/ 2 - 1 } \left(1 + \cfrac{y}{n} \right)^{- (m + n)/ 2} .\tag{2}\end{align}

ここで次のスターリングの公式

\begin{align}\Gamma(x) &= \sqrt{\cfrac{2\pi}{x}} \left( \cfrac{x}{e} \right)^x \left( 1 + O(x^{-1}) \right)\end{align}

より、\eqref{eq2}のガンマ関数の部分は次のように近似できる。

\begin{align}\cfrac{\Gamma\bigl[(m+n) / 2\bigr]}{n^{ m/ 2} \Gamma( n / 2)} &= \cfrac{\sqrt{\cfrac{2\pi}{(m+ n) / 2}} \left\{ \cfrac{(m+ n) / 2}{e} \right\}^{(m+n) / 2} \left( 1 + O\left( \bigl\{(m+ n) / 2\bigr\}^{-1}\right) \right)}{ n^{ m/ 2} \sqrt{\cfrac{2\pi}{n /2}} \left( \cfrac{n / 2}{e} \right)^{n/ 2} \left( 1 + O\left( (n / 2)^{-1}\right) \right) } \\ &= \cfrac{ (m + n)^{(m+ n - 1) / 2} }{ n^{ (m+ n - 1)/ 2} 2^{m / 2}e^{m /2} } \left( 1 + O(n^{-1} ) \right)\\ &= \cfrac{ (m / n + 1)^{(m+ n - 1) / 2} }{ 2^{m / 2}e^{m /2} } \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \end{align}

よって、ネイピア数の性質

\begin{align}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{x}{n} \right)^{n} = e^x\end{align}

より、\(n\to \infty\)のとき

\begin{align} \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(m+n) / 2\bigr]}{n^{ m/ 2} \Gamma( n / 2)} &= \lim_{n \to\infty} \left[\cfrac{ (m / n + 1)^{(m+ n - 1) / 2} }{ 2^{m / 2}e^{m /2} } \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \right] \\ &= 2^{-m / 2}e^{-m /2} \left\{ \lim_{n \to\infty} \left( \cfrac{m }{ n} + 1\right)^n \lim_{n\to \infty}\left( \cfrac{m }{ n} + 1\right)^{ m - 1} \right\}^{ 1/ 2 } \lim_{n \to\infty} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \\ &= 2^{-m / 2}e^{-m /2} \bigl\{ e^m (0 + 1)\bigr\}^{1 / 2} (1 + 0) \\ &= 2^{-m / 2}e^{-m /2} e^{m / 2} = 2^{-m / 2} \end{align}

である。同様に

\begin{align}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{y}{n} \right)^{- (m + n)/ 2} &= \left\{ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{y}{n} \right)^m \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{y}{n} \right)^n \right\}^{- 1/ 2}\\ &= \bigl\{ (1 + 0)^m e^y \bigr\}^{- 1/ 2}\\ &= e^{-y / 2}\end{align}

故に、\(n\to \infty\)のとき\(Y=mX\)の確率密度関数は次となる。

\begin{align} \lim_{n\to \infty} g_Y(y) &=\cfrac{1}{\Gamma( m/ 2)} y^{ m/ 2 - 1} \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(m+n) / 2\bigr]}{n^{ m/ 2} \Gamma( n / 2)}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{y}{n} x\right)^{- (m + n)/ 2}\\ &= \cfrac{1}{\Gamma( m/ 2)} y^{ m/ 2 - 1} 2^{-m / 2} e^{- y / 2}\\ &= \cfrac{1}{ 2^{m / 2}\Gamma( m/ 2)} y^{ m/ 2 - 1}e^{- y /2} .\end{align}

\eqref{eq1}が示された。