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連続分布のモーメント【統計学】

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連続分布のモーメント【統計学】

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連続分布のモーメントの定義や性質を述べる。

また様々な連続分布のモーメントを導出し、期待値と分散を求める。

特性関数、積率母関数を利用した期待値と分散の導出法については、それぞれ連続分布の特性関数連続分布の積率母関数を参照されたい。

離散分布のモーメントについては、離散分布のモーメントを参照されたい。

連続分布のモーメントの定義

\(f(x)\)を連続確率変数\(X\)の確率密度関数とし、この関数はある区間\((a, b)\)にのみ密度を持つとする。区間\((a, b)\)を等しい幅をもつ\(n\)個の区間に分けて、\(x_i\)を\(i\)番目の区間の中点とする。また、\(\Delta x\)を区間の幅としたとき、次の和を考える。

\begin{align}\sum_{i=1}^{n}x_if(x_i)\Delta x.\end{align}

\(f(x_i)\Delta x\)は図1の斜線上長方形の面積であり、\(x_if(x_i)\Delta x\)はこの長方形の面積の近似的な期待値となる。したがって、連続確率変数\(X\)の期待値は、\(n\to\infty\)にしたときであると考えられる。したがって、次の期待値の定義が導かれる。

定義1 連続分布の期待値

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)の期待値は次で与えられる。\begin{align}\mathrm{E}[X] = \int_{a}^{b}xf(x)dx.\end{align}

また、原点周りの\(k\)次モーメントを定義するために、確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)の期待値も定義する。

定義2 \(g(X)\)の期待値

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)の期待値は次で与えられる。\begin{align}\label{eq1}\mathrm{E}[g(X)] = \int_a^bg(x)f(x)dx.\tag{1}\end{align}

\eqref{eq1}では、\(f(x)\)は区間\((a, b)\)の外では\(0\)であることを仮定したが、\(a\)を\(-\infty\)、\(b\)を\(\infty\)とおいてもよい。\(g(x)f(x)\)の無限区間での積分が収束すると仮定したとき、次の定義を得る。

定義3 一般化した\(g(X)\)の期待値

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)の期待値は次で与えられる。\begin{align}\label{eq2}\mathrm{E}[g(X)]= \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx.\tag{2}\end{align}

\eqref{eq2}では、確率変数\(X\)から成る任意の関数に対する期待値を定義している。すなわち、この定義から\(X\)の2次モーメント\(\mathrm{E}[X^2]\)、3次モーメント\(\mathrm{E}[X^3]\)、さらに、分散\(\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])^2]\)などが得られることを意味する。

定義4 原点周りの\(k\)次モーメント

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)の原点周りの\(k\)次モーメントは次で与えられる。\begin{align}\mu_k = \int_{-\infty}^{\infty}x^kf(x)dx.\end{align}

\(\mu_k\)は、連続確率変数\(X\)の分布の\(k\)次のモーメント、またはその分布をもつ確率変数\(X\)の\(k\)次モーメントとも呼ばれる。1次モーメント\(\mu_1\)はよく用いられるため、以降、便宜上1次モーメント\(\mu_1\)を\(\mu_1=\mu\)とする。分散を扱う際に、平均周りのモーメントが登場するため次でその定義を与える。

定義5 平均周りの\(k\)次モーメント

確率密度関数\(f(x)\)をもつ連続確率変数\(X\)の平均周りの\(k\)次モーメントは次で与えられる。\begin{align}\mathrm{E}[(X-\mu)^k] = \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^kf(x)dx.\end{align}

離散分布のモーメント同様に、分散を1次、2次モーメントを用いることで表現できる。定義5に\(k=2\)を適用すると、連続確率変数\(X\)の分散は次で与えられる。

\begin{align}\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[(X-\mu)^2]\\&=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx\\&=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx-2\mu\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx+\mu^2\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\\&=\mu_2-2\mu^2+\mu^2\\&=\mu_2-\mu^2.\end{align}

したがって、連続分布の場合にも、次の公式が得られた。

\begin{align}\label{eq3}\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}[X^2]-\bigl(\mathrm{E}[X]\bigr)^2.\tag{3}\end{align}

連続分布のモーメント

連続一様分布

確率変数\(X\)が連続一様分布に従うとき、\(a<b\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b,\\0, & otherwise\end{array}\right.\end{align}

連続一様分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。定義4より、\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1 &= \int_{a}^b x\cfrac{1}{b-1}dx\\&= \cfrac{1}{b-a}\left[\cfrac{1}{2}x^2\right]_a^b\\&=\cfrac{1}{b-a}\cfrac{(b-a)(b+a)}{2}\\&=\cfrac{a+b}{2}\end{align}

である。また、2次モーメントは

\begin{align}\mu_2 &= \int_a^b x^2\cfrac{1}{b-a}dx\\&= \cfrac{1}{b-a}\left[\cfrac{1}{3}x^3\right]_a^b\\&= \cfrac{1}{b-a}\cfrac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3}\\&= \cfrac{a^2+ab+b^2}{3}\end{align}

である。故に、\eqref{eq3}より\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\cfrac{a+b}{2},\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{a^2+ab+b^2}{3}-\cfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\&=\cfrac{(a-b)^2}{12}\end{align}

である。

正規分布

確率変数\(X\)が正規分布に従うとき、実数\(\mu\)、\(\sigma^2>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}, \ \ -\infty<x<\infty .\end{align}

正規分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\(X\)の1次モーメントは

\begin{align} \mu_1  &= \int_{-\infty}^{\infty}x\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\&=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{x-\mu}{\sigma}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}+\mu\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\\label{eq4}&=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{x-\mu}{\sigma}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}+\mu \tag{4}\end{align}

となり、ここで\(y=(x-mu)/\sigma\)。の変換を考える。\(x=\sigma y+\mu\)より、この変換のヤコビアンは\begin{align}\cfrac{dx}{dy} = \sigma\end{align}である。よって、\eqref{eq4}は次となる。

\begin{align}&\cfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx+\mu\\&=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}y\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\sigma dy +\mu \\&= -\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(-y)\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\sigma dy +\mu\\&= -\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\&=\mu.\end{align}

また、2次モーメントは

\begin{align}\mu_2 &= \int_{-\infty}^{\infty}x^2\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\&=\cfrac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\cfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx+2\mu \int_{-\infty}^{\infty}x\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\&\ \ \ \  -\mu^2 \int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\&=  \cfrac{\sigma}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}y^2\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\sigma dy+2\mu^2-\mu^2\\&=\cfrac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}y\cdot y\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right) dy+\mu^2\\&= \cfrac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\left[y\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}-\sigma2\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right) dy+\mu^2\\&=0+\sigma^2\cdot1+\mu^2\\&=\sigma^2+\mu^2\end{align}

となる。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\mu,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\sigma^2+\mu^2-\mu^2\\&=\sigma^2\end{align}

である。

ガンマ分布

確率変数\(X\)がガンマ分布に従うとき、実数\(k > 0\)、\(\theta>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}, & x\geq 0, \\0,&x <0.\end{array}\right.\end{align}

ガンマ分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1 &= \int_{0}^{\infty} x\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\\\label{eq5}&= \cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\tag{5}\end{align}

となり、ここでガンマ関数に変数変換を行うことで、\(\mathrm{Re}, b>0\)を満たす複素数\(b\)に対し

\begin{align} \label{eq6}\int_0^{\infty}u^{b-1}e^{-au}du = \cfrac{\Gamma(b)}{a^{b}}\tag{6}\end{align}

という関係が成り立つことより、\eqref{eq5}は次で表される。

\begin{align}\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-\frac{x}{\theta}}dx&= \cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\cfrac{\Gamma(k+1)}{(1/\theta)^{k+1}}\\&=\theta k.\end{align}

次に、\(X\)の2次モーメントを導出する。1次モーメントと同様に、\eqref{eq6}のガンマ関数を用いることで、次の2次モーメントを得る。

\begin{align}\mu_2&=\int_{0}^{\infty} x^2\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\\&=\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^k}\int_{0}^{\infty} x^{k+1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\\&=  \cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^k}\cfrac{\Gamma(k+2)}{(1/\theta)^{k+2}}\\&= \theta^2k(k+1)\end{align}

故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \theta k,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\theta^2 k(k+1) - (\theta k)^2\\&=\theta^2 k\end{align}

である。

指数分布

確率変数\(X\)がガンマ分布に従うとき、\(\lambda>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x\geq 0,\\0,&x <0.\end{array}\right.\end{align}

指数分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。ガンマ分布の時と同様に、\eqref{eq6}のガンマ関数を用いることで\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1&=\int_0^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\lambda\int_0^{\infty}xe^{-\lambda x}dx \\&= \lambda\cfrac{\Gamma(2)}{\lambda^2}\\&= \lambda^{-1}\end{align}

である。また、同様に2次モーメントは

\begin{align}\mu_2&=\int_0^{\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\lambda\int_0^{\infty} x^2e^{\lambda x}dx\\&=\lambda\cfrac{\Gamma(3)}{\lambda^3}\\&=2\lambda^{-2} \end{align}

である。故に\(X\)の期待値と分散は

\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\lambda^{-1},\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=2\lambda^{-2}-(\lambda^{-1})^2\\&=\lambda^{-2}\end{align}

である。

カイ2乗分布

確率変数\(X\)がカイ2乗分布に従うとき、\(k\in\{1,2,\ldots\}\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})},& x\geq 0,\\0,&x<0.\end{array}\right.\end{align}

カイ2乗分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\eqref{eq6}より、\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1 &= \int_{0}^{\infty}x\cfrac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}dx\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\cfrac{\Gamma(\frac{k}{2}+1)}{(1/2)^{\frac{k}{2}+1}}\\&=2\cfrac{k}{2}\\&=k\end{align}

であり、また2次モーメントは

\begin{align}\mu_2&=\int_{0}^{\infty}x^2\cfrac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}dx\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}+1}e^{-\frac{1}{2}x}\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\cfrac{\Gamma(\frac{k}{2}+2)}{(1/2)^{\frac{k}{2}+2}}\\&= 2^2\cfrac{k}{2}\left(\cfrac{k}{2}+1\right)\\&=k(k+2)\end{align}

である。故に、\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=k,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=k(k+2)-k^2\\&=2k\end{align}

である。

ベータ分布

確率変数\(X\)がベータ分布に従うとき、実数\(\alpha >0\)と\(\beta>0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)},&  0\leq x \leq 1,\\0,&otherwise.\end{array}\right.\end{align}

ベータ分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1&=\int_{0}^{1}x\cfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}dx\\\label{eq7}&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\int_0^1 x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx \tag{7}\end{align}

となる。ここでベータ関数は、\(\mathrm{Re}\ (y)>0, \mathrm{Re}\ z>0\)を満たす複素数\(y, z\)に対して

\begin{align}\label{eq8}B(y,z) = \int_0^1u^{y-1}(1-u)^{z-1}du\tag{8}\end{align}

で定義されることから、\eqref{eq7}は次となる。

\begin{align}&\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\int_0^1 x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx \\&= \cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}B(\alpha+1, \beta)\\&= \cfrac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\cfrac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)}\\&=  \cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}.\end{align}

また、1次モーメントと同様にして、2次モーメントは次のように求められる。

\begin{align}\mu_2&=\int_{0}^{1}x^2\cfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}dx\\&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\int_0^1 x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}dx \\&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)} B(\alpha+2, \beta)\\&=\cfrac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\cfrac{\Gamma(\alpha+2)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}\\&= \cfrac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}\end{align}

故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \cfrac{\alpha}{\alpha+\beta},\\\mathrm{Var}[X] &=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}-\left(\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\right)^2\\&=\cfrac{\alpha\bigl\{(\alpha+1)(\alpha+\beta) -\alpha(\alpha+\beta+1)\bigr\}}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\\&=\cfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\end{align}

である。

t分布

確率変数\(X\)がt分布に従うとき、実数\(\nu >0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f(x) = \cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}},\ \ -\infty<x<\infty.\end{align}

t分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\(0<\nu\leq 1 \)のとき

\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}x\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\end{align}が収束しないので、\(\nu > 1\)のときを考える。\(X\)の1次モーメントは

\begin{align} \mu_1 &= \int_{-\infty}^{\infty}x\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx \\\label{eq9}&= \cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}x\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\tag{9}\end{align}ここで\begin{align}x\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\end{align}

は奇関数であることから、\eqref{eq9}の積分は\(0\)となる。したがって、\(\mu_1=0\)である。次に、2次モーメントは

\begin{align}\mu_2 &= \int_{-\infty}^{\infty}x^2\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx \\&=\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}x^2\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\\\label{eq10}&= 2\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{0}^{\infty}x^2\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\tag{10} \end{align}

となる。ここで\(0\leq x<\infty\)において、\(y=(1+x^2/\nu)^{-1}\)の変換を考える。\(x= \{\nu(y^{-1}-1)\}^{\frac{1}{2}}\)であることから

\begin{align}&\cfrac{dx}{dy} =-\cfrac{1}{2}\nu y^{-2}\{\nu(y^{-1}-1)\}^{-\frac{1}{2}}\\ &\Leftrightarrow\cfrac{dx}{dy} =-\cfrac{1}{2}\nu^{\frac{1}{2}}y^{-2}\left(\cfrac{1-y}{y}\right)^{-\frac{1}{2}}\end{align}

である。よって、\eqref{eq10}は次で表される。

\begin{align}&2\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{0}^{\infty}x^2\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\\&=2\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{1}^{0}\nu\cfrac{1-y}{y}y^{\frac{\nu+1}{2}}\left\{-\cfrac{1}{2}\nu^{\frac{1}{2}}y^{-2}\left(\cfrac{1-y}{y}\right)^{-\frac{1}{2}}\right\}dy\\&=\cfrac{\nu\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_0^{1}y^{\frac{\nu}{2}-2}(1-y)^{\frac{1}{2}}dy \end{align}

さらに\eqref{eq8}のベータ関数を用いると、上の式は次となる。

\begin{align}&\cfrac{\nu\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_0^{1}y^{\frac{\nu}{2}-2}(1-y)^{\frac{1}{2}}dy \\&=\cfrac{\nu\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}B(\tfrac{\nu}{2}-1, \tfrac{3}{2})\\&= \cfrac{\nu\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\cfrac{\Gamma(\frac{\nu}{2}-1)\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}\\&= \cfrac{\nu/2}{(\nu-2)/2}\\&=\cfrac{\nu}{\nu-2}.\end{align}

故に、\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1=0,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{\nu}{\nu-2}-0^2\\&=\cfrac{\nu}{\nu-2}\end{align}

である。

F分布

確率変数\(X\)がF分布に従うとき、実数\(m >0\)と\(n>0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}\label{eq12}f(x)  =\left\{\begin{array}{cc}\cfrac{m^{\frac{1}{2}m}n^{\frac{1}{2}n} x^{\frac{1}{2}m-1}}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)(n+mx)^{\frac{1}{2}(m+n)}}, & x\geq 0\ \ (if\ m=1,\ x>0),\\0,&otherwise.\end{array}\right.\tag{12}\end{align}

F分布に従う確率変数の1次、2次モーメントを導出する。\(X\)の1次モーメントは

\begin{align}\mu_1&= \int_{0}^{\infty} x\cfrac{m^{\frac{1}{2}m}n^{\frac{1}{2}n} x^{\frac{1}{2}m-1}}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)(n+mx)^{\frac{1}{2}(m+n)}}dx\\&=\cfrac{1}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty}\bigl\{(m/n)x\bigr\}^{\frac{1}{2}m}\bigl\{1+(m/n)x\bigr\}^{-\frac{1}{2}(m+n)}dx\end{align}

となる。ここで\(y=(m/n)x\)の変換を行うと上式は次となる。

\begin{align}&\cfrac{1}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty}\bigl\{(m/n)x\bigr\}^{\frac{1}{2}m}\bigl\{1+(m/n)x\bigr\}^{-\frac{1}{2}(m+n)}dx\\\label{eq11}&= \cfrac{(n/m)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty} y^{\frac{1}{2}m}(1+y)^{-\frac{1}{2}(m+n)}dy\tag{11}\end{align}

ここで、\eqref{eq8}のベータ関数に\(u=v/(1+v)\)の変換を行う。\eqref{eq8}は次で表される。

\begin{align}B(y,x) &= \int_{0}^{\infty} \left(\cfrac{v}{1+v}\right)^{y-1} \left(\cfrac{1}{1+v}\right)^{z-1}\left(\cfrac{1}{1+v}\right)^2dv \\ &=\int_{0}^{\infty} v^{y-1}(1+v)^{-(y+z)}dv \end{align}

したがって、上式のベータ関数を用いると\eqref{eq11}の1次モーメントは

\begin{align}&\cfrac{(n/m)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty} y^{\frac{1}{2}m}(1+y)^{-\frac{1}{2}(m+n)}dy\\&=\cfrac{(n/m)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)}  B(\tfrac{1}{2}m+1, \tfrac{1}{2}n-1)\\&=\cfrac{n}{m} \cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)}{\Gamma(\frac{1}{2}m)\Gamma(\frac{1}{2}n)}\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}m+1)\Gamma(\frac{1}{2}n-1)}{\Gamma(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)}\\&=\cfrac{n}{m} \cfrac{1}{2^{-1}(n-2)}\cfrac{1}{2}m\\&=\cfrac{n}{n-2}.\end{align}

である。また同様に、2次モーメントは

\begin{align}\mu_2&= \int_{0}^{\infty} x^2\cfrac{m^{\frac{1}{2}m}n^{\frac{1}{2}n} x^{\frac{1}{2}m-1}}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)(n+mx)^{\frac{1}{2}(m+n)}}dx\\&=\cfrac{(n/m)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty}\bigl\{(m/n)x\bigr\}^{\frac{1}{2}m+1}\bigl\{1+(m/n)x\bigr\}^{-\frac{1}{2}(m+n)}dx\\&= \cfrac{(n/m)^2}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} \int_{0}^{\infty}y^{\frac{1}{2}m+1}(1+y)^{-\frac{1}{2}(m+n)}dy\\&= \cfrac{(n/m)^2}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)} B(\tfrac{1}{2}m+2, \tfrac{1}{2}n-2)\\&= \cfrac{n^2}{m^2}\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)}{\Gamma(\frac{1}{2}m)\Gamma(\frac{1}{2}n)}\cfrac{\Gamma(\frac{1}{2}m+2)\Gamma(\frac{1}{2}n-2)}{\Gamma(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n)}\\&= \cfrac{n^2}{m^2}\cfrac{1}{2^{-2}(n-2)(n-4)}\cfrac{1}{2^2}m(m+2)\Gamma(\frac{1}{2}n-2)\\&= \cfrac{n^2}{m^2}\cfrac{1}{2^{-2}(n-2)(n-4)}\cfrac{1}{2^2}m(m+2)\\ &= \cfrac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}.\end{align}

故に、\(X\)の期待値と分散は、それぞれ

\begin{align}\mathrm{E}[X]&= \mu_1 = \cfrac{n}{(n-2)},\\\mathrm{Var}[X]&= \mu_2-\mu_1^2\\&= \cfrac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}-\left(\cfrac{n}{n-2}\right)^2\\&=\cfrac{(m+2)n^2(n-2)-mn^2(n-4)}{m(n-2)^2(n-4)}\\&= \cfrac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\end{align}

である。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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