超幾何分布の性質の1つである二項分布への収束を解説する。
超幾何分布のパラメータ\(N\)が十分に大きいときに、超幾何分布の確率質量関数が二項分布の確率質量関数となることを示す。
二項分布とその他の分布との関係については以下を参照されたい。
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超幾何分布の二項分布への収束
超幾何分布の二項分布への収束
\(\{K_N\}\)を\(\{0, 1, \ldots, N\}\)上の数列とし、\(\lim_{n\to \infty} K_N/ N = p \in (0, 1)\)を満たすとする。このとき、\(X\)を超幾何分布\(HG(N, K_N , n)\)に従う確率変数とすると、\(N\)が十分に大きいとき\(X\)の確率質量関数は
\begin{align}\lim_{N\to \infty} \mathrm{Pr}\{X = k\} = \begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix} p^k (1 - p)^{n - k}. \end{align}
証明 \(\lim_{N \to \infty} K_N / N = p\)の下で、\(X\)の確率質量関数は
\begin{align} \mathrm{Pr}\{ X = k\} &= \cfrac{\begin{pmatrix}K_N \\ k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}N - K_N \\ n - k \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} N \\ n\end{pmatrix}}\\ &= \cfrac{\frac{K_N (K_N - 1) \cdots (K_N - k + 1)}{k!} \frac{(N - K_N)(N - K_N -1 ) \cdots (N - K_N -n + k + 1)}{(n - k)!} }{ \frac{N (N - 1) \cdots (N - n + 1)}{n!}} \\ &= \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \cfrac{ K_N (K_N - 1) \cdots (K_N - k + 1) (N - K_N)(N - K_N -1 ) \cdots (N - K_N -n + k + 1) }{ N (N - 1) \cdots (N - n + 1)} \end{align}
ここで、\(N \to \infty\)のとき\(K_N = Np\)であることから
\begin{align} & \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \cfrac{ K_N (K_N - 1) \cdots (K_N - k + 1) (N - K_N)(N - K_N -1 ) \cdots (N - K_N -n + k + 1) }{ N (N - 1) \cdots (N - n + 1)} \\&\approx \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \cfrac{ Np ( Np - 1) \cdots ( Np - k + 1) N(1 - p)\left\{N (1 - p) -1 \right\} \cdots \left\{N(1 - p) -n + k + 1\right\} }{ N (N - 1) \cdots (N - n + 1)} \\ &= \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \cfrac{ N^n p^k(1- p)^{n - k} + O(N^{n-1}) }{ N^n + O(N^{n-1})}. \end{align}
故に、\(N\)が十分に大きいとき
\begin{align} \lim_{N\to\infty} \mathrm{Pr}\{X= k\} &= \lim_{N\to \infty} \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \cfrac{ N^n p^k(1- p)^{n - k} + O(N^{n-1}) }{ N^n + O(N^{n-1})} \\&= \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \left\{ \lim_{N\to \infty} \cfrac{ p^k(1- p)^{n - k}}{1 + O(N^{-1})} + \lim_{N\to\infty} \cfrac{ O(N^{-1})}{ 1 + O(N^{-1})} \right\} \\&= \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \left\{ p^k(1- p)^{n - k} +0 \right\}\\&= \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^k(1- p)^{n - k}. \end{align}
右辺は二項分布\(B(n, p)\)の確率質量関数であり、定理1が示された。
