【統計学】ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数について解説する。

ベルヌーイ分布の確率質量関数の定義を与え、解釈の仕方やベルヌーイ分布の例についてを紹介する。

また、ベルヌーイ分布との関係についても触れる。

ベルヌーイ分布の期待値と分散や分布関数については次の記事を参照。

: 離散分布のモーメント【統計学】
ここでは、離散分布に対するモーメントの定義や様々な離散分布のモーメントの導出を行う。モーメントの定義を行う前に、離散確率変数の期待値や一般化した関数に対する期待値を述べる。離散分布の期待値離散確 ...
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ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数を紹介する。ベルヌーイ分布の確率質量関数は次の通り。

ベルヌーイ分布の確率質量関数

確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布\(Bernoulli(p)\)に従うとする。\(X\)は次の確率質量関数を持つ。

\begin{align} P(k)&= \mathrm{Pr}\{X = k \} \\ &=\left\{ \begin{array}{cc} 1 - p & \mathrm{if}\ k = 0, \\ p & \mathrm{otherwise}. \end{array}\right. \end{align}

上に示すように\(p\)を成功する確率とすると、ベルヌーイ分布は成功または失敗する確率を表す分布である。

ベルヌーイ分布の例としてコイン投げが有名である。例えば、表と裏が等しく出るコインがあったとすると、コイン投げはパラメータ\(p = 1/2\)のベルヌーイ分布に従う。

ベルヌーイ分布の有名な性質として、ベルヌーイ分布と二項分布の関係がある。\(n\)個の互いに独立同一なベルヌーイ分布に従う確率変数を\(X_1, X_2, \ldots ,X_n ;\ i.i.d.\sim Bernoulli(p)\)とすると、次が成り立つ。

\begin{align}\sum_{i = 1}^n X_i \sim B(n. p),\end{align}

ここに\(B(n, p)\)はパラメータ\(n\)、\(p\)の二項分布を意味する。上式は独立なベルヌーイ試行の和は二項分布に従うことを意味する。ベルヌーイ分布と二項分布の関係の詳細については、次の記事を参照されたい。

: 【統計学】ベルヌ―イ分布の和の分布　ベルヌーイ分布と二項分布の関係
ベルヌーイ分布と二項分布の関係性についてみていく。独立同一にベルヌーイ分布に従う確率変数の和が二項分布に従うことベルヌーイ分布の特性関数を利用し証明する。ベルヌーイ分布と二項分布の確率質量関数と特 ...
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ベルヌーイ分布の例

コイン投げを例にベルヌーイ分布について見ていく。表と裏が出る確率が同じであるコインがあるとする。このとき、コイン投げの事象はパラメータ\(p=1/2\)のベルヌーイ分布\(Bernoulli(1/2)\)に従う。今、コイン投げの確率変数を\(X\)とし、表を\(1\)、裏\(0\)とすると、次の確率質量関数を持つ。

\begin{align} P(k)&= \mathrm{Pr}\{X = k \} \\ &=\left\{ \begin{array}{cc} 1/2 & \mathrm{if}\ k = 0, \\ 1/2 & \mathrm{otherwise}. \end{array}\right. \end{align}