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【統計学】ベルヌーイ分布の確率質量関数

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【統計学】ベルヌーイ分布の確率質量関数

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ベルヌーイ分布の確率質量関数について解説する。

ベルヌーイ分布の確率質量関数の定義を与え、解釈の仕方やベルヌーイ分布の例についてを紹介する。

また、ベルヌーイ分布との関係についても触れる。

ベルヌーイ分布の期待値と分散や分布関数については次の記事を参照。

離散分布のモーメント【統計学】

ここでは、離散分布に対するモーメントの定義や様々な離散分布のモーメントの導出を行う。 モーメントの定義を行う前に、離散確率変数の期待値や一般化した関数に対する期待値を述べる。 Contents1 離散 ...

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ベルヌーイ分布の確率質量関数

ベルヌーイ分布の確率質量関数を紹介する。ベルヌーイ分布の確率質量関数は次の通り。

ベルヌーイ分布の確率質量関数

確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布\(Bernoulli(p)\)に従うとする。\(X\)は次の確率質量関数を持つ。

\begin{align}  P(k)&= \mathrm{Pr}\{X = k \} \\ &=\left\{ \begin{array}{cc} 1 - p & \mathrm{if}\ k = 0, \\  p & \mathrm{otherwise}.  \end{array}\right. \end{align}

上に示すように\(p\)を成功する確率とすると、ベルヌーイ分布は成功または失敗する確率を表す分布である。

ベルヌーイ分布の例としてコイン投げが有名である。例えば、表と裏が等しく出るコインがあったとすると、コイン投げはパラメータ\(p = 1/2\)のベルヌーイ分布に従う。

ベルヌーイ分布の有名な性質として、ベルヌーイ分布と二項分布の関係がある。\(n\)個の互いに独立同一なベルヌーイ分布に従う確率変数を\(X_1, X_2, \ldots ,X_n ;\ i.i.d.\sim Bernoulli(p)\)とすると、次が成り立つ。

\begin{align}\sum_{i = 1}^n X_i \sim B(n. p),\end{align}

ここに\(B(n, p)\)はパラメータ\(n\)、\(p\)の二項分布を意味する。上式は独立なベルヌーイ試行の和は二項分布に従うことを意味する。ベルヌーイ分布と二項分布の関係の詳細については、次の記事を参照されたい。

ベルヌーイ分布の例

コイン投げを例にベルヌーイ分布について見ていく。表と裏が出る確率が同じであるコインがあるとする。このとき、コイン投げの事象はパラメータ\(p=1/2\)のベルヌーイ分布\(Bernoulli(1/2)\)に従う。今、コイン投げの確率変数を\(X\)とし、表を\(1\)、裏\(0\)とすると、次の確率質量関数を持つ。

\begin{align} P(k)&= \mathrm{Pr}\{X = k \} \\ &=\left\{ \begin{array}{cc} 1/2 & \mathrm{if}\ k = 0, \\  1/2 & \mathrm{otherwise}.  \end{array}\right. \end{align}

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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