【統計学】自由度が無限大のときのt分布　正規分布への収束

自由度が無限大であるときのt分布について解説する。

自由度を大きくするとt分布に従う確率変数が正規分布へと収束する性質とその証明を行う。

自由度が無限大のときのF分布の性質については次の記事を参照。

: 【統計学】自由度が無限大のときのF分布　カイ二乗分布への収束
自由度が無限大であるときのF分布について解説する。第二自由度を大きくするとF分布に従う確率変数が第一自由度のカイ二乗分布布へと収束する性質とその証明を行う。自由度が無限大のときのt分布の性質につい ...
続きを見る

自由度が無限大のときのt分布

自由度が無限であるときのt分布の性質を紹介する。次のように、t分布に従う確率変数は、自由度が十分大きいとき正規分布に従うことが知られている。

自由度が無限であるときのt分布

\(X\)を自由度\(n\)のt分布に従う確率変数とする。\(n\to \infty\)のとき\(X\)は次の確率密度関数

\begin{align} \label{eq1} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(-\cfrac{x^2}{2} \right) \tag{1} \end{align}

をもち、\(X \sim N(0, 1)\)である。

証明　\(X\)は自由度\(n\)のt分布に従うことから、次の確率密度関数を持つ。

\begin{align} \label{eq2} f_X(x) &= \cfrac{\Gamma\bigl[(n + 1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma(n/ 2)} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2}.\tag{2}\end{align}

ここで次のスターリングの公式

\begin{align}\Gamma(x) &= \sqrt{\cfrac{2\pi}{x}} \left( \cfrac{x}{e} \right)^x \left( 1 + O(x^{-1}) \right)\end{align}

より、\eqref{eq2}のガンマ関数の部分は次のように近似できる。

\begin{align}\cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)} &= \cfrac{\sqrt{\cfrac{2\pi}{(n+1) / 2}} \left\{ \cfrac{(n+1) / 2}{e} \right\}^{(n+1) / 2} \left( 1 + O\left( \bigl\{(n+1) / 2\bigr\}^{-1}\right) \right)}{\sqrt{n\pi } \sqrt{\cfrac{2\pi}{n /2}} \left( \cfrac{n / 2}{e} \right)^{n/ 2} \left( 1 + O\left( (n / 2)^{-1}\right) \right) } \\ &=\sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left\{\cfrac{n + 1}{n} \right\}^{n/ 2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left(1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/ 2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \end{align}

よってネイピア数の定義より、\(n\to \infty\)のとき

\begin{align} \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)} &= \lim_{n \to\infty} \left[\sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/ 2} \left( 1 + O(n^{-1} ) \right) \right] \\ &=\lim_{n \to\infty} \left[ \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^{n/ 2} + O(n^{-1} ) \right] \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } \left\{ \lim_{n \to\infty}\left( 1 + \cfrac{1}{n} \right)^n \right\}^{1/ 2} + \lim_{n \to\infty} O(n^{-1} ) \\ &= \sqrt{\cfrac{1}{2\pi e} } e^{1/ 2} + 0 = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{align}

である。また、次のネイピア数の性質

\begin{align}\lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{x}{n} \right)^{n} = e^x\end{align}

より\((1 + x^2 / n )^{ -(n + 1)/ 2}\)は\(n\to \infty\)のとき

\begin{align} \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2} &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right) \right\}^{-1/2} \\ &= \lim_{n\to \infty} \left\{\left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right) \right\}^{-1/2} \\ &= \left\{ \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^n \lim_{n \to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)\right\}^{-1 / 2} \\ &= \left\{ e^{x^2} (1 + 0)\right\}^{-1 / 2} \\ &= \exp\left(-\cfrac{x^2}{2}\right)\end{align}

故に、\(n\to \infty\)のとき\(X\)の確率密度関数は次となる。

\begin{align} \lim_{n\to \infty} f_X(x) &= \lim_{n\to \infty } \cfrac{\Gamma\bigl[(n+1) / 2\bigr]}{\sqrt{n\pi} \Gamma( n / 2)} \lim_{n\to \infty} \left(1 + \cfrac{x^2}{n} \right)^{ -(n + 1)/ 2} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( - \cfrac{x^2}{2}\right).\end{align}

\eqref{eq1}が示された。