系1 正定値行列の行列式
正定値行列\(\boldsymbol{A}\)の行列式は正である。
証明 \(\boldsymbol{FAF}^T\)の構成より、
\begin{align}\boldsymbol{FAF}^T&=\begin{bmatrix}a_{11}^{(1)}&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&\cdots&0\\0&0&a_{33}^{(3)}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{pp}^{(p)}\end{bmatrix}\end{align}
は正定値行列である。ここに\(a_{gg}^{(g)}>0, g = 1, \ldots, p\)とする。また、\(|\boldsymbol{F}_{g-1}|=1\)より、
\(0<|\boldsymbol{FAF}^T|=|\boldsymbol{F}|\cdot|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{F}^T|=1\cdot|\boldsymbol{A}|\cdot1=|\boldsymbol{A}|\)
。□
\(\boldsymbol{FAF}^T\)は\(\boldsymbol{A}_g=\boldsymbol{F}_{g-1}\boldsymbol{A}_{g-1}, g=2, \ldots, p\)を逐次求めたように、\(\boldsymbol{F}_{g-1}\boldsymbol{A}_{g-1}\boldsymbol{F}_{g-1}^T, g = 2, \ldots, p\)、\(\boldsymbol{D}_1=\boldsymbol{A}_1\)とし、\(\boldsymbol{D}_2, \ldots, \boldsymbol{D}_p\)を求めていく。
\begin{align}\boldsymbol{D}_2&=\boldsymbol{F}_1\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{F}_1^T\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&a_{12}^{(1)}&\cdots&a_{1p}^{(1)}\\0&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{22}^{(1)}&\cdots & -\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{2p}^{(1)}\\\vdots &\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{p2}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{pp}^{(1)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}&-\cfrac{a_{3,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}&\cdots&-\cfrac{1_{p,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&-a_{2,1}^{(1)}+a_{12}^{(1)}&\cdots&-a_{p,1}^{(1)}+a_{1p}^{(1)}\\0&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{22}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{2p}^{(1)}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{p2}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{pp}^{(1)}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&\cdots&a_{2p}^{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{p2}^{(2)}&\cdots&a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}.\end{align}
\begin{align}\boldsymbol{D}_3&=\boldsymbol{F}_2\boldsymbol{D}_2\boldsymbol{F}_2^T\\&=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots&0\\0&1&0&0&0&\cdots&0\\0&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&1&0&0&\cdots&0\\0&-\cfrac{a_{4,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&0&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&\cdots&a_{2p}^{(2)}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{p2}^{(2)}&\cdots&a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}\\&\ \ \ \ \times \begin{pmatrix}1&0&0&0&\cdots&0\\0&1&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&-\cfrac{a_{4,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&\cdots&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}\\0&0&1&0&\cdots&0\\0&0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(a)}&0&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&0&\cdots&0\\0&0&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{23}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{33}^{(2)}&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{24}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{34}^{(2)}&\cdots&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{2p}^{(1)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{3p}^{(1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{23}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{p3}^{(2)}&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{24}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{p4}^{(2)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{2p}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}.\end{align}
これを\(g=2,\ldots,p\)まで行うことで、次の対角行列\(\boldsymbol{D}_p=\boldsymbol{F}_{p-1}\boldsymbol{D}_{p-1}\boldsymbol{F}_{p-1}^T\)を得る。
\begin{align}\boldsymbol{D}_p&=\boldsymbol{F}_{p-1}\boldsymbol{D}_{p-1}\boldsymbol{F}_{p-1}^T\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{pp}^{(p)}\end{pmatrix}.\end{align}
系2 正定値行列の三角化
\(\boldsymbol{A}\)が正定値行列であるとき、\(\boldsymbol{GAG}^T=\boldsymbol{I}\)を満たす下三角行列\(\boldsymbol{G}\)が存在する。
証明 \(\boldsymbol{FAF}^T=\boldsymbol{D}^2\)とする。すなわち\(\boldsymbol{D}\)は\(\boldsymbol{D}^2\)の対角成分の正の平方根をもつ対角行列とする。ここに\(\boldsymbol{F}\)は系1における下三角行列である。このとき\(\boldsymbol{G}=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{F}\)とすると
\begin{align}\boldsymbol{GAG}^T&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{FAF}^T\boldsymbol{D}^{-1}\\&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{D}^2\boldsymbol{D}^{-1}\\&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{DD}\boldsymbol{D}^{-1}=\boldsymbol{I}.□\end{align}
系3 コレスキー展開
\(\boldsymbol{A}\)が正定値行列であるとき、\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{TT}^T\)を満たすような正の対角成分をもつ下三角行列\(\boldsymbol{T}\ (t_{ij}=0, i<j)\)が一意に存在する。
証明 系2より、\(\boldsymbol{A}= \boldsymbol{G}^{-1}(\boldsymbol{G}^T)^{-1}\)\であり、\(\boldsymbol{G}\)は下三角行列である。下三角行列の逆行列も下三角行列であることから、\(\boldsymbol{T}=\boldsymbol{G}^{-1}\)は下三角行列である。この系が示せた。□
