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正定値行列について#3

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正定値行列について#3

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系1 正定値行列から一部を削除した行列

\(p\times p\)正定値行列から\(p-q\)個の行を無くし、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした\(q\times q\)行列は正定値行列である。

証明 \(\boldsymbol{C}\)、\(\boldsymbol{D}\)を\(p\times p\)正定値行列とする。\(\boldsymbol{C}\)から\(p-q\)個の行を無くし、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした\(q\times q\)行列を\(\boldsymbol{A}\)をとする。ここで\(\boldsymbol{D}\)から\(\boldsymbol{C}\)で無くした\(p-q\)個の列に対応する列を無くし、これを\(\boldsymbol{B}\)とする。今\(\boldsymbol{D}\)を\(\boldsymbol{D}\)を\(p\times p\)単位行列とし、\(\boldsymbol{B}\)のランクは\(q\)となる。任意の\(q\)次元列ベクトル\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)に対して、\(\boldsymbol{By}\neq0\)がいえるので、正定値行列について#1の定理1と同様にして、\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列である(\((\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{CBy}=(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{By}>0\)である。ここに\(\boldsymbol{F}\)は、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{FF}^T\)を満たす正定値行列である。)。ここまでの結果をまとめると、正定値行列\(\boldsymbol{D}\)は

\begin{align}\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}=\boldsymbol{I}\end{align}

である。この行列から\(p-q\)個の行、列を無くした行列\(\boldsymbol{B}\)は

\begin{align}\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\end{align}

であり\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{B})=q\)である。\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は

\begin{align}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}&=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2p}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{p1}&c_{p2}&\cdots&c_{pp}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{13}&\cdots&c_{1p}\\c_{31}&c_{33}&\cdots&c_{3p}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\c_{p1}&c_{p3}&\cdots&c_{pp}\end{pmatrix}\end{align}

である。これは\(\boldsymbol{C}\)から各行、列を無くした際にできる行列\(\boldsymbol{A}\)と一致する。よって\(q\times q\)正定値行列\(\boldsymbol{A}\)は\(p\times p\)正定値行列\(\boldsymbol{C}\)から\(p-q\)個の行、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした行列であり、これは正定値行列である。□

定理1 \(p\times q\)行列に対する正定値行列の性質

\(\boldsymbol{C}\)が\(p\times p\)正定値行列であり、\(\boldsymbol{B}\)が\(p\times q\)行列(\(q\leq p\))が\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{B})=q\)であるとき、\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列である。

証明 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{By}\)を満たす\(q\)次元列ベクトル\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)を与える。\(\boldsymbol{B}\)のランクは\(q\)であるので\(\boldsymbol{By}=\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\)である。よって\begin{align}\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CBy}&=(\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{C}(\boldsymbol{By})\\&=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Cx}>0.\end{align}\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)が正定値行列であることは上の式よりいえるため証明された。逆に\(\boldsymbol{B}\)についてランクが\(q\)であるときのみ\((\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列であることがわかる。もしそうでなければ\(\boldsymbol{By}=\boldsymbol{0}\)であるような\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)が存在する。□

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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