線形代数

正定値行列について#2

  1. HOME >
  2. 線形代数 >

正定値行列について#2

スポンサーリンク

系1 正定値行列の行列式

正定値行列\(\boldsymbol{A}\)の行列式は正である。

証明 \(\boldsymbol{FAF}^T\)の構成より、

\begin{align}\boldsymbol{FAF}^T&=\begin{bmatrix}a_{11}^{(1)}&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&\cdots&0\\0&0&a_{33}^{(3)}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{pp}^{(p)}\end{bmatrix}\end{align}

は正定値行列である。ここに\(a_{gg}^{(g)}>0, g = 1, \ldots, p\)とする。また、\(|\boldsymbol{F}_{g-1}|=1\)より、

\(0<|\boldsymbol{FAF}^T|=|\boldsymbol{F}|\cdot|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{F}^T|=1\cdot|\boldsymbol{A}|\cdot1=|\boldsymbol{A}|\)

。□

\(\boldsymbol{FAF}^T\)は\(\boldsymbol{A}_g=\boldsymbol{F}_{g-1}\boldsymbol{A}_{g-1}, g=2, \ldots, p\)を逐次求めたように、\(\boldsymbol{F}_{g-1}\boldsymbol{A}_{g-1}\boldsymbol{F}_{g-1}^T, g = 2, \ldots, p\)、\(\boldsymbol{D}_1=\boldsymbol{A}_1\)とし、\(\boldsymbol{D}_2, \ldots, \boldsymbol{D}_p\)を求めていく。

\begin{align}\boldsymbol{D}_2&=\boldsymbol{F}_1\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{F}_1^T\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&a_{12}^{(1)}&\cdots&a_{1p}^{(1)}\\0&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{22}^{(1)}&\cdots & -\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{2p}^{(1)}\\\vdots &\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{p2}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{pp}^{(1)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}&-\cfrac{a_{3,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}&\cdots&-\cfrac{1_{p,1}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&-a_{2,1}^{(1)}+a_{12}^{(1)}&\cdots&-a_{p,1}^{(1)}+a_{1p}^{(1)}\\0&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{22}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{2,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{2p}^{(1)}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{12}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{p2}^{(1)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,1}^{(1)}a_{1p}^{(1)}}{a_{1,1}^{(1)}}+a_{pp}^{(1)}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&\cdots&a_{2p}^{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{p2}^{(2)}&\cdots&a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}.\end{align}
\begin{align}\boldsymbol{D}_3&=\boldsymbol{F}_2\boldsymbol{D}_2\boldsymbol{F}_2^T\\&=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots&0\\0&1&0&0&0&\cdots&0\\0&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&1&0&0&\cdots&0\\0&-\cfrac{a_{4,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&0&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&\cdots&a_{2p}^{(2)}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&a_{p2}^{(2)}&\cdots&a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}\\&\ \ \ \ \times \begin{pmatrix}1&0&0&0&\cdots&0\\0&1&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&-\cfrac{a_{4,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}&\cdots&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}\\0&0&1&0&\cdots&0\\0&0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(a)}&0&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&0&\cdots&0\\0&0&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{23}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{33}^{(2)}&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{24}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{34}^{(2)}&\cdots&-\cfrac{a_{3,2}^{(2)}a_{2p}^{(1)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{3p}^{(1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{23}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{p3}^{(2)}&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{24}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{p4}^{(2)}&\cdots&-\cfrac{a_{p,2}^{(2)}a_{2p}^{(2)}}{a_{2,2}^{(2)}}+a_{pp}^{(2)}\end{pmatrix}.\end{align}

これを\(g=2,\ldots,p\)まで行うことで、次の対角行列\(\boldsymbol{D}_p=\boldsymbol{F}_{p-1}\boldsymbol{D}_{p-1}\boldsymbol{F}_{p-1}^T\)を得る。

\begin{align}\boldsymbol{D}_p&=\boldsymbol{F}_{p-1}\boldsymbol{D}_{p-1}\boldsymbol{F}_{p-1}^T\\&=\begin{pmatrix}a_{11}^{(1)}&0&0&\cdots&0\\0&a_{22}^{(2)}&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{pp}^{(p)}\end{pmatrix}.\end{align}

系2 正定値行列の三角化

\(\boldsymbol{A}\)が正定値行列であるとき、\(\boldsymbol{GAG}^T=\boldsymbol{I}\)を満たす下三角行列\(\boldsymbol{G}\)が存在する。

証明 \(\boldsymbol{FAF}^T=\boldsymbol{D}^2\)とする。すなわち\(\boldsymbol{D}\)は\(\boldsymbol{D}^2\)の対角成分の正の平方根をもつ対角行列とする。ここに\(\boldsymbol{F}\)は系1における下三角行列である。このとき\(\boldsymbol{G}=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{F}\)とすると

\begin{align}\boldsymbol{GAG}^T&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{FAF}^T\boldsymbol{D}^{-1}\\&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{D}^2\boldsymbol{D}^{-1}\\&=\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{DD}\boldsymbol{D}^{-1}=\boldsymbol{I}.□\end{align}

系3 コレスキー展開

\(\boldsymbol{A}\)が正定値行列であるとき、\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{TT}^T\)を満たすような正の対角成分をもつ下三角行列\(\boldsymbol{T}\ (t_{ij}=0, i<j)\)が一意に存在する。

証明 系2より、\(\boldsymbol{A}= \boldsymbol{G}^{-1}(\boldsymbol{G}^T)^{-1}\)\であり、\(\boldsymbol{G}\)は下三角行列である。下三角行列の逆行列も下三角行列であることから、\(\boldsymbol{T}=\boldsymbol{G}^{-1}\)は下三角行列である。この系が示せた。□

スポンサーリンク

  • この記事を書いた人
  • 最新記事

usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

-線形代数
-,

© 2022 ウサギさんの統計学サロン Powered by AFFINGER5