ガンマ分布とポアソン分布の関係及び指数分布とポアソン分布の関係についてみていく。
ポアソン分布に従う事象が発生するまでの時間の確率変数は指数分布に従うことを示す。また、ガンマ分布との関係としてポアソン分布の確率質量関数がガンマ分布で表現できることを示す。
指数分布とポアソン分布の関係
指数分布とポアソン分布の関係
\(N_t\)を時刻\(t\)までに発生した事象の回数の確率変数とし、単位時間\(t\)あたり平均\(\lambda\)回の発生があるとすると、\(N_t\)はパラメータ\(\lambda t\)のポアソン分布に従う。ここに\(t > 0\)。このとき、最初の事象が発生するまでの時間の確率変数\(T\)はパラメータ\(\lambda\)の指数分布\(Exp(\lambda)\)に従う。
証明
時刻\(0\)から\(t\)までに発生した事象の数の確率変数を\(N_t\)、最初の事象が発生するまでの時間の確率変数を\(T\)とする。このとき、事象\((T > t)\)は最初の事象が発生するまでの時間は\(t\)より大きいことを意味し、これは時刻\(t \)時点での事象の発生数が\(0\)であることと同じである。よって、次が成り立つ。
\begin{align} (T > t) = (N_t = 0). \end{align}
したがって
\begin{align}\mathrm{Pr}\{T \leq t \} &= 1 - \mathrm{Pr}\{T > t\} \\ &= 1- \mathrm{Pr}\{ N_t = 0 \} .\end{align}
ここで、確率変数\(N_t\)は単位時間あたり平均\(\lambda\)回のポアソン分布\(Pois(\lambda t)\)に従うので、\(N_t\)は次の確率質量関数を持つ。
\begin{align}\mathrm{Pr}\{N_t = k\} &= \cfrac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}, \quad k \in \{0 , 1, 2, \ldots \}. \end{align}
故に
\begin{align} \mathrm{Pr}\{T \leq t\} &= 1 - \mathrm{Pr}\{N_t = 0\} \\ &= 1- \cfrac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!}\\ &= 1- e^{-\lambda t}. \end{align}
これはパラメータ\(\lambda\)の指数分布の分布関数である。よって、\(T \sim Exp(\lambda)\)である。
ガンマ分布とポアソン分布の関係
ガンマ分布とポアソン分布の関係
ある\(i\)番目の事象が発生するまでの時間の確率変数を\(X_i,\ i = 1, 2, \ldots, \)とし、\(X_i,\ i.i.d.\sim Gamma(1, \theta)\)とする。任意の正の定数\(t\)について、次の事象を考える。
\begin{align} \sum_{i= 1}^n X_i \leq t < \sum_{i = 1}^{n + 1} X_i .\end{align}
事象の発生数の確率変数を\(N\)とすると、次が成り立つ。
\begin{align}\label{eq1} \mathrm{Pr}\{N = n\} &= \cfrac{(t / \theta)^n e^{-t / \theta}}{n!}.\tag{1} \end{align}
上式は、事象の発生数の確率変数\(N\)の分布はパラメータ\(t/\theta\)のポアソン分布であることを意味する。
証明 事象\((N \geq n )\)は\(n\)個以上の事象が\(t\)時間まで発生する事象であり、これは\(n\)個までの時間が\(t\)以下であることを意味するので、事象\((N \geq n )\)が起こる確率は
\begin{align} \label{eq2} \mathrm{Pr}\{N \geq n \} = \mathrm{Pr}\{\sum_{i= 1}^n X_i \leq t\}. \tag{2} \end{align}
ここで、\(n\)個目の事象が発生するまでの時間の確率変数を\(Y_n =\sum_{i = 1}^n X_i\)とする。 \(X_i,\ i = 1, 2, \ldots, n\)はそれぞれ独立同一に\(Gamma(1, \theta)\)に従うので、ガンマ分布の再生性より\(Y_n \sim Gamma(n, \theta)\)であり、次の確率密度関数を持つ。
\begin{align} g_{Y_n} (y_n) &= \cfrac{1}{\Gamma(n) \theta^n} y_n^{n - 1} e^{- y_n / \theta}.\end{align}
\(\mathrm{Pr}\{N = n\} = \mathrm{Pr}\{N \geq n \} - \mathrm{Pr}\{N \geq n + 1\}\)であることから、\eqref{eq2}を用いると
\begin{align} \mathrm{Pr}\{N = n\} &= \mathrm{Pr}\{N \geq n \} - \mathrm{Pr}\{N \geq n + 1\}\\ &= \mathrm{Pr}\{ Y_n \geq t \} - \mathrm{Pr}\{Y_{n+ 1} \geq t \} \\ &= \int_0^t g_{Y_n}(y_n) dy_n- \int_0^t g_{Y_{n+ 1}} (y_{n + 1})dy_{n + 1}\\ &= \left[1 - \sum_{i = 1}^n\cfrac{(y_n / \theta)^{n - i} e^{- y_n / \theta}}{( n - i)!} \right]_0^t - \left[1 - \sum_{i = 1}^{n + 1}\cfrac{(y_{n + 1} / \theta)^{n + 1- i} e^{- y_{n + 1} / \theta}}{( n + 1- i)! }\right]_0^t \\ &= \left[ \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^n\cfrac{(t / \theta)^{n - i} e^{- t / \theta}}{( n - i)!} \right\} - \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^n\cfrac{(0 / \theta)^{n - i} e^{- 0 / \theta}}{( n - i)!} \right\} \right] - \left[ \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^{n + 1}\cfrac{(t / \theta)^{n + 1- i} e^{- t / \theta}}{( n + 1- i)! } \right\} - \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^{n + 1}\cfrac{(0 / \theta)^{n + 1- i} e^{- 0 / \theta}}{( n + 1- i)! } \right\} \right] \\ &= \left[ \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^n\cfrac{(t / \theta)^{n - i} e^{- t / \theta}}{( n - i)!} \right\} - \left\{ 1 - 1 \right\} \right] - \left[ \left\{ 1 - \sum_{i = 1}^{n + 1}\cfrac{(t / \theta)^{n + 1- i} e^{- t / \theta}}{( n + 1- i)! } \right\} - \left\{ 1 - 1\right\} \right] \\ &= \sum_{i = 1}^{n + 1}\cfrac{(t / \theta)^{n + 1- i} e^{- t / \theta}}{( n + 1- i)! } - \sum_{i = 1}^n\cfrac{(t / \theta)^{n - i} e^{- t / \theta}}{( n - i)!} \\ &= \left\{\cfrac{(t/ \theta)^n e^{- t/ \theta}}{n!} + \cfrac{(t/ \theta)^{n- 1} e^{- t/ \theta}}{(n - 1)!} + \cdots + \cfrac{(t/ \theta)^0 e^{- t/ \theta}}{0!}\right\} - \left\{\cfrac{(t/ \theta)^{n - 1 }e^{- t/ \theta}}{(n -1 )!} + \cfrac{(t/ \theta)^{n - 2} e^{- t/ \theta}}{(n - 2)!} + \cdots + \cfrac{(t/ \theta)^0 e^{- t/ \theta}}{0!} \right\} \\ &= \cfrac{(t/ \theta)^n e^{- t/ \theta}}{n!}.\end{align}
\eqref{eq1}が示された。
