【統計学】母分散の信頼区間

標本が正規分布に従う場合の母分散の信頼区間およびその導出についてみていく。

信頼区間の定義から分散の\(100(1-\alpha)\)%信頼区間を構成していく。

母平均の信頼区間については次の記事を参照。

: 【統計学】母平均の信頼区間
標本が正規分布に従う場合の母平均の信頼区間の導出についてみていきます。母分散が既知または未知である場合についてそれぞれの信頼区間を解説します。母平均の差の信頼区間については以下を参照。信頼区間 ...
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信頼区間

信頼区間の定義は次で与えられる。

信頼区間

\(x_1, \ldots, x_n\)はパラメータ\(\theta\)をもつ分布からの大きさ\(n\)の標本とする。このとき、パラメータ\(\theta\)をもつ統計量を\(g(\theta)\)とすると、\(\theta\)の\(100(1 - \alpha ) \)%信頼区間は

\begin{align}\label{eq1} \mathrm{Pr}\{ l \leq g( \theta) \leq u\} = 1-\alpha \tag{1}\end{align}

を満たす区間\([l, u]\)で与えられる。

例えば\(\alpha = 0.05\)であるとき、\eqref{eq1}はパラメータ\(\theta\)は\(l\)と\(u\)の間に95%で存在することを意味する。また、\((1- \alpha)\)は信頼水準（confidence level, C.I.）と呼ばれる。

母分散の信頼区間

正規母集団\(N(\mu, \sigma^2)\)からの大きさ\(n\)の無作為標本\(x_1, \ldots, x_n\)が得られたときの、母分散\(\sigma^2\)の\(100(1- \alpha)\)%信頼区間を紹介する。以降、標本平均を\(\bar{x} = (1 /n) \sum_{i = 1}^n x_i\)、不偏標本分散を\(u^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 / (n-1)\)、自由度\(n\)のカイ二乗分布の上側\(\alpha\)点を\(\chi_{n, \alpha}^2\)とする。

母分散の信頼区間

母分散\(\sigma^2\)の\(100(1 - \alpha)\)%信頼区間は次で与えられる。

\begin{align} \label{eq2} \left[ \cfrac{(n - 1)u^2}{\chi_{n-1, \alpha / 2}^2 }, \cfrac{(n-1) u^2}{\chi_{n-1, 1 -\alpha / 2}^2} \right]. \tag{2}\end{align}

母分散の信頼区間の導出

正規母集団\(N(\mu, \sigma^2)\)からの大きさ\(n\)の無作為標本\(x_1, \ldots, x_n\)が得られたときの、母分散\(\sigma^2\)の\(100(1- \alpha)\)%信頼区間の導出を行う。\(x_1, \ldots, x_n\)に対応する確率変数を\(X_1, \ldots, X_n\)、また標本分散を\(\bar{X} = (1 / n)\sum_{i = 1}^nX_i\)、不偏標本分散を\(U^2 = \sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2/ (n - 1)\)とする。このとき、標本分散の分布より\((n - 1)U^2 / \sigma^2 \sim \chi_{n-1}^2\)であることから、自由度\(n\)のカイ二乗分布の上側\(\alpha\)点を\(\chi_{n, \alpha}^2\)とすると、次が成り立つ。

\begin{align}&\mathrm{Pr}\{ \chi_{n-1, 1- \alpha/2}^2 \leq (n - 1) U^2 / \sigma^2 \leq \chi_{n-1, \alpha/2}^2\} = 1 - \alpha. \end{align}

よって、\((n - 1)U^2 / \sigma^2\)の\(100(1- \alpha)\)%信頼区間は

\begin{align} \chi_{n-1, 1- \alpha / 2}^2 \leq (n-1)U^2 / \sigma^2 \leq \chi_{n-1, \alpha/2}^2.\end{align}

故に、標本\(x_1, \ldots, x_n\)が与えられた下で、\(\sigma^2\)について上の不等式を変形することで\eqref{eq2}の母分散\(\sigma^2\)の\(100 (1- \alpha)\)%信頼区間を得る。

\begin{align} & \chi_{n-1, 1- \alpha / 2}^2 \leq (n-1)u^2 / \sigma^2 \leq \chi_{n-1, \alpha/2}^2 \\ &\Leftrightarrow \cfrac{1}{\chi_{n-1, \alpha / 2}^2} \leq \sigma^2/ \bigl\{(n-1)u^2 \bigr\} \leq \cfrac{1}{\chi_{n-1, 1-\alpha/2}^2} \\ &\Leftrightarrow \cfrac{(n - 1)u^2}{\chi_{n-1, \alpha / 2}^2 } \leq \sigma^2 \leq \cfrac{(n-1) u^2}{\chi_{n-1, 1 -\alpha / 2}^2} .\end{align}