この記事では、多変量の連続分布のモーメントについて解説する。
多変量の連続分布のモーメントの定義を与え、様々な分布の平均ベクトルや共分散行列を導出する。
単変量の連続分布のモーメントに関しては、連続分布のモーメントを参照されたい。
多変量の連続分布のモーメント
多変量の連続分布のモーメントの定義を与える。次に与える定義は、この後で様々な分布のモーメントを導出する際に用いる。
定義1 多変量の連続分布のモーメント
多変量の連続分布のモーメント
連続確率変数\(X_1,\ldots, X_p\)は同時密度関数\(f(x_1, \ldots, x_p)\)をもつとする。このとき\(X_1^{h_1}\cdots X_p^{h_p}\)の同時モーメントは次で定義される。
\begin{align}\label{eq1} \mathrm{E}\left[X_1^{h_1} \cdots X_p^{h_p}\right] &= \int_{-\infty}^{\infty}\cdots \int_{-\infty}^{\infty} x_1^{h_1}\cdots x_p^{h_p} f(x_1, \ldots, x_p) dx_1 \cdots dx_p .\tag{1}\end{align}
定義\eqref{eq1}より、\(X_i,\ i=1, \ldots, p\)や\(X_i^2,\ i=1, \ldots, p\)などの周辺分布のモーメントを求めることができる。例として、周辺分布の期待値\(X_i,\ i=1, \ldots, p\)は、同時密度関数を周辺化し\(X_i,\ i=1, \ldots, p\)の周辺密度関数を得ることで、計算することができる。
様々な多変量の連続分布のモーメント
多変量正規分布
多変量正規分布のモーメント
多変量正規分布に従う確率ベクトルのモーメント（平均ベクトルと共分散行列）を紹介する。確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)は平均ベクトル\(\boldsymbol{\mu}\)、共分散行列\(\boldsymbol{\Sigma}\)の多変量正規分布に従うとする。このとき、\(\boldsymbol{X}\)は次の確率密度関数をもつ。
\begin{align}f(\boldsymbol{x}) = \cfrac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}} |\boldsymbol{\Sigma}|^{\frac{1}{2}}}\exp\left[-\cfrac{1}{2}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})\right].\end{align}
多変量正規分布の平均ベクトルと共分散行列は以下となる。
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}] &= \boldsymbol{\mu},\\ \mathrm{Var}[\boldsymbol{X}] &= \boldsymbol{\Sigma}.\end{align}
導出については多変量正規分布の平均ベクトルと共分散行列を参照されたい。
ウィシャート分布
ウィシャート分布のモーメント
ウィシャート分布に従う確率ベクトルのモーメントを導出する。確率行列\(\boldsymbol{X}\)は自由度\(n\)、共分散行列\(\boldsymbol{\Sigma}\)のウィシャート分布に従うとする。このとき、\(\boldsymbol{X}\)は次の確率密度関数をもつ。
\begin{align}f(\boldsymbol{x}) = \cfrac{|\boldsymbol{X}|^{\frac{1}{2}(n-p-1)} \exp\left[-\frac{1}{2}\mathrm{tr}(\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{X})\right]}{2^{\frac{1}{2}np} |\boldsymbol{\Sigma}|^{\frac{1}{2}n} \Gamma_p(\frac{1}{2}n)},\end{align}ここに\begin{align}\Gamma_p(t) &= \pi^{\frac{1}{4}p(p-1)}\prod_{i=1}^p\Gamma\left[t - \frac{1}{2}(i-1)\right].\end{align}
自由度\(n\)、共分散行列\(\boldsymbol{\Sigma}\)のウィシャート分布に従う確率行列\(X\)の平均と共分散はそれぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}] &= n\boldsymbol{\Sigma},\\ \mathrm{Cov}[X_{ij}, X_{kl}] &= n(\sigma_{ij}\sigma_{jl} - \sigma_{il}\sigma_{jk}).\end{align}
証明 平均ベクトルと共分散行列の独立性より、\(\boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n}\boldsymbol{Z}_{\alpha}\boldsymbol{Z}_{\alpha}^T\)の期待値は次となる。
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}] &= \mathrm{E}[\sum_{\alpha=1}^{n}\boldsymbol{Z}_{\alpha}\boldsymbol{Z}_{\alpha}^T]\\&= n\boldsymbol{\Sigma},\end{align}
ここに、\(\boldsymbol{Z} \sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{\Sigma})\)である。また、多変量の漸近正規性より、\(\sum_{\alpha=1}^{n}\boldsymbol{Z}_{\alpha}\boldsymbol{Z}_{\alpha}^T\)の共分散に関して次が成り立つ。
\begin{align} \mathrm{Cov}[X_{ij}, X_{kl}] &= \mathrm{E}\left[\sum_{\alpha=1}^n(Z_{i\alpha}Z_{j\alpha} - \sigma_{ij})(Z_{k\alpha}Z_{l\alpha} - \sigma_{kl})\right]\\ &= \sum_{\alpha=1}^n\mathrm{E}\left[ (Z_{i\alpha}Z_{j\alpha} - \sigma_{ij})(Z_{k\alpha}Z_{l\alpha} - \sigma_{kl}) \right]\\ &= n(\sigma_{ik}\sigma_{jl} - \sigma_{il}\sigma_{jk}).□\end{align}
多変量t分布
最後に、多変量t分布のモーメントを導出する。
多変量t分布のモーメント
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)が自由度\(n\)、平均ベクトル\(\boldsymbol{\mu}\)、共分散行列\(\boldsymbol{\Sigma}\)の多変量t分布に従うとき、\(\boldsymbol{X}\)は次の確率密度関数を持つ。
\begin{align}f(\boldsymbol{x}) &= \cfrac{\Gamma\left(\frac{n+p}{2}\right)}{\Gamma(\frac{m}{2}) n^{\frac{p}{2}} \pi^{\frac{p}{2}}} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-\frac{1}{2}} \left(1 + \cfrac{(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})}{n}\right)^{-\frac{n+p}{2}}.\end{align}
多変量t分布に従う確率変数\(\boldsymbol{X}\)の平均ベクトルと共分散行列はそれぞれ次である。
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}] &= \boldsymbol{\mu},\\ \mathrm{Var}[\boldsymbol{X}] &= \cfrac{n}{n-2}\boldsymbol{\Sigma}.\end{align}
証明 確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)は\(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{CY}\)で表すことができる。ここに、\(\boldsymbol{Y} = (1/s)\boldsymbol{Z}\)、\(ns^2 \sim \chi_n^2\)、\(\boldsymbol{Z} \sim N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{\Sigma})\)、\(\boldsymbol{CC}^T = \boldsymbol{\Sigma}\)であり、\(s^2\)と\(\boldsymbol{Y}\)は独立である。したがって、\(\boldsymbol{X}\)の平均ベクトルは
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{X}] &= \mathrm{E}[ \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{CY}]\\ &= \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{C}\mathrm{E}\left[\cfrac{\boldsymbol{Z}}{s}\right]\\&= \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{C}\mathrm{E}[s^{-1}]\mathrm{E}\left[\boldsymbol{Z}\right]\\&= \boldsymbol{\mu}.\end{align}
また共分散について、次がいえる。
\begin{align}\mathrm{Var}[\boldsymbol{X}] &= \boldsymbol{C}\mathrm{Var}\left[\cfrac{\boldsymbol{Z}}{s}\right]\boldsymbol{C}^T \\&= \boldsymbol{C}\left[\mathrm{E}[(s^2)^{-1}]\mathrm{E}[\boldsymbol{ZZ}^T] - \mathrm{E}[\cfrac{\boldsymbol{Z}}{s}] \left(\mathrm{E}[\cfrac{\boldsymbol{Z}}{s}]\right)^T\right]\boldsymbol{C}^T\\&= \boldsymbol{C}\left[\cfrac{n}{n-2}\boldsymbol{I}\right]\boldsymbol{C}^T\\&= \cfrac{n}{n-2}\boldsymbol{\Sigma}. □\end{align}
