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【統計学】離散分布の再生性 

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【統計学】離散分布の再生性 

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前回の連続分布の再生性に続いて、様々な離散分布の再生性を示す。

確率分布の再生性の定義については、連続分布の再生性を参照されたい。

代表的な離散分布である二項分布や負の二項分布、ポアソン分布の再生性を示していく。

二項分布

二項分布の再生性を示す。独立な確率変数\(X_1\sim B(m, p),\ X_2\sim B(n,p)\)について、\(X_1+X_2\)が再び二項分布に従うことを示す。

確率関数を用いた導出

確率変数\(X_1\)と\(X_2\)はそれぞれ次の確率関数をもつ。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{X_1 = k\} &= \begin{pmatrix}m\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{m-k},\ \ k = 0,1,2\ldots, m\\ \mathrm{Pr}\{X_2 = k\} &=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},\ \ k = 0,1,2\ldots, n.\end{align}

確率関数の定義より、\(U = X_1+X_2\)の確率関数は次のように書ける。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{U = k\} &= \mathrm{Pr}\{X_1+X_2 = k\}\\&=\sum_{i=0}^k\mathrm{Pr}\{X_1 = i, X_2 = k-i\}\\&= \sum_{i=0}^k\mathrm{Pr}\{X_1 = i\}\mathrm{Pr}\{X_2 = k-i\}\\&= \sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}p^m(1-p)^{m-i}\begin{pmatrix}n\\k-i\end{pmatrix} p^n(1-p)^{n-(k-i)}\\&=\sum_{i=0}^k\cfrac{m!}{i!(m-i)!}\cfrac{n!}{(k-i)!(n-k+i)!}\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\k-i\end{pmatrix} p^{m+n}(1-p)^{m+n-k}\label{eq1}\\&= \cfrac{m+n}{k}p^{m+n}(1-p)^{m+n-k}.\tag{1}\end{align}

最後の等式は次の朱ファンでルモンドの等式より成り立つ。

\begin{align}\label{eq2}\sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n-m\\k-i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\\k.\end{pmatrix}\tag{2}\end{align}

したがって、\(U=X_1+X_2\sim B(m+n, p)\)であることが示された。よって、パラメータ\(p\)が同じ場合、二項分布は再生性をもつ。

特性関数を用いた導出

特性関数を用いた二項分布の再生性の証明を行う。

確率変数\(X_1\sim B(m, p)\)と\(X_2\sim B(n, p)\)の特性関数はそれぞれ次で与えられる。

\begin{align}\phi_{X_1}(t) &= (1-p+pe^{it})^m,\\ \phi_{X_2}(t) &= (1-p+pe^{it})^n.\end{align}また、特性関数の定義より、\(U=X_1+X_2\)の特性関数は次で表現される

\begin{align}\phi_U(t) &= \mathrm{E}[e^{itu}]\\&=\mathrm{E}[e^{it(X_1+X_2)}]\\&= \mathrm{E}[e^{itX_1}]\mathrm{E}[e^{itX_2}]\\&= (1-p+pe^{it})^m(1-p+pe^{it})^n\\\label{eq3}&= (1-p+pe^{it})^{m+n}.\tag{3}\end{align}

3行目の等式は、確率変数\(X_1\)と\(X_2\)が独立であることよりいえる。\eqref{eq2}はパラメータ\(m+n\)、\(p\)の二項分布の確率関数である。よって二項分布の再生性が示された。

負の二項分布

確率関数を用いた導出

負の二項分布の再生性を示す。二項分布と同様に、独立な確率変数\(X_1\sim NB(\alpha_1, p),\ X_2\sim NB(\alpha_2,p)\)について、\(X_1+X_2\)が再び負の二項分布に従うことを示す。

確率変数\(X_1\)と\(X_2\)はそれぞれ次の確率関数を持つ。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{X_1 = k\} &=\begin{pmatrix}k+\alpha_1-1\\k\end{pmatrix}(1-p)^{\alpha_1}p^k ,\\ \mathrm{Pr}\{X_2 = k\} &= \begin{pmatrix}k+\alpha_2-1\\k\end{pmatrix}(1-p)^{\alpha_2}p^k.\end{align}

確率関数の定義より、\(U = X_1+X_2\)の確率関数は次のように書ける。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{U = k\} &=  \sum_{i=0}^k\mathrm{Pr}\{X_1 = i\}\mathrm{Pr}\{X_2 = k-i\}\\&= \sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}i+\alpha_1 -1 \\i\end{pmatrix}(1-p)^{\alpha_1}p^i\begin{pmatrix}k-i+\alpha_2 -1 \\k-i\end{pmatrix}(1-p)^{\alpha_2}p^{k-i}\\&=p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2} \sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}i+\alpha_1 -1 \\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k-i+\alpha_2 -1 \\k-i\end{pmatrix}\\&=p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2} \sum_{i=0}^k (-1)^{i}\begin{pmatrix}-\alpha_1\\i\end{pmatrix}(-1)^{k-i}\begin{pmatrix}-\alpha_2\\ k-i\end{pmatrix}\\&= p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2} \sum_{i=0}^k (-1)^{k}\begin{pmatrix}-\alpha_1\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\alpha_2\\ k-i\end{pmatrix}\end{align}

ここで、\eqref{eq2}を用いると上式は、さらに次のように表される。

\begin{align}& p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2} \sum_{i=0}^k (-1)^{k}\begin{pmatrix}-\alpha_1\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\alpha_2\\ k-i\end{pmatrix}\\&= p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2} (-1)^{k}\begin{pmatrix}-(\alpha_1+\alpha_2)\\ k\end{pmatrix}\\&=p^k(1-p)^{\alpha_1+\alpha_2}\begin{pmatrix}k + (\alpha_1+\alpha_2) -1\\ k\end{pmatrix}\\\label{eq4}&=\begin{pmatrix}k + (\alpha_1+\alpha_2) -1\\ k\end{pmatrix} (1-p)^{\alpha_1+\alpha_2}p^k.\tag{4}\end{align}

\eqref{eq4}はパラメータ\(\alpha_1 + \alpha_2\)、\(p\)の負の二項分布の確率関数である。したがって、\(X_1+ X_2 \sim NB(\alpha_1 + \alpha_2, p)\)であり、\(p\)が同じである場合、負の二項分布は再生性を持つことが証明された。

特性関数を用いた導出

特性関数を用いて、負の二項分布の再生性を示す。

確率変数\(X_1\)と\(X_2\)はそれぞれ次の特性関数を持つ。

\begin{align}\phi_{X_1}(t) &= \left(\cfrac{1-p}{1-pe^{it}}\right)^{\alpha_1},\\\phi_{X_2}(t) &= \left(\cfrac{1-p}{1-pe^{it}}\right)^{\alpha_2},\end{align}

また、特性関数の定義より、\(U=X_1+X_2\)の特性関数は次で表現される

\begin{align}\phi_U(t) &= \mathrm{E}[e^{itu}]\\&= \mathrm{E}[e^{itX_1}]\mathrm{E}[e^{itX_2}]\\&= \left(\cfrac{1-p}{1-pe^{it}}\right)^{\alpha_1}\left(\cfrac{1-p}{1-pe^{it}}\right)^{\alpha_2}\\&=\left(\cfrac{1-p}{1-pe^{it}}\right)^{\alpha_1+\alpha_2} \end{align}

これは、パラメータ\(\alpha_1+\alpha_2\)、\(p\)の負の二項分布の確率関数である。したがって\(X_1 + X_2\sim NB(\alpha_1 + \alpha_2, p)\)であり、負の二項分布の再生性が示された。

ポアソン分布

ポアソン分布の再生性を示す。独立な確率変数\(X_1\sim Po(\lambda_1),\ X_2\sim Po(\lambda_2)\)について、\(X_1+X_2\)が再びポアソン分布に従うことを示す。

確率関数を用いた導出

確率変数\(X_1\)と\(X_2\)はそれぞれ次の確率関数を持つ。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{X_1 = k\} &= \cfrac{\lambda_1^ke^{-\lambda_1}}{k!}\\ \mathrm{Pr}\{X_2 = k\} &= \cfrac{\lambda_2^k e^{-\lambda_2}}{k!}.\end{align}

また、確率関数の定義より、\(U = X_1+X_2\)の確率関数は次のように書ける。

\begin{align}\mathrm{Pr}\{U = k\} &= \sum_{i=0}^k\mathrm{Pr}\{X_1 = i\}\mathrm{Pr}\{X_2 = k-i\}\\&= \sum_{i=0}^k \cfrac{\lambda_1^ie^{-\lambda_1}}{i!}\cfrac{\lambda_2^{k-i} e^{-\lambda_2}}{(k-i)!}\\&= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cfrac{1}{k!}\sum_{i=0}^k\cfrac{k!}{i!(k-i)!} \lambda_1^i\lambda_2^{k-i}\\&=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cfrac{1}{k!}\sum_{i=0}^k\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix} \lambda_1^i\lambda_2^{k-i}\\&= e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\cfrac{1}{k!}(\lambda_1+\lambda_2)^k\\\label{eq5}&=\cfrac{(\lambda_1+\lambda_2)^ke^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!}.\tag{5} \end{align}

5行目の等式は、自然数\(n\)及び\(k = 0, 1, \ldots, n\)に対する次の二項係数を用いた。

\begin{align}(x +y)^n= \sum_{k=0}^n x^ky^{n-k}.\end{align}

\eqref{eq5}はパラメータ\(\lambda_1+\lambda_2\)のポアソン分布の確率関数である。よって、\(X_1 + X_2\sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)\)であり、ポアソン分布の再生性が示された。

特性関数を用いた導出

特性関数を用いてポアソン分布の再生性を示す。

確率変数\(X_1\)と\(X_2\)の特性関数はそれぞれ次で与えれる。

\begin{align}\phi_{X_1}(t) &=\exp\bigl\{\lambda_1(e^t-1)\bigr\}, \\\phi_{X_2}(t) &= \exp\bigl\{\lambda_2(e^t-1)\bigr\}.\end{align}

また、特性関数の定義より、\(U=X_1+X_2\)の特性関数は次で表現される

\begin{align}\phi_U(t) &= \mathrm{E}[e^{itu}]\\&= \mathrm{E}[e^{itX_1}]\mathrm{E}[e^{itX_2}]\\&= \exp\bigl\{\lambda_1(e^t-1)\bigr\}\exp\bigl\{\lambda_2(e^t-1)\bigr\}\\&=\exp\bigl\{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)\bigr\}.\tag{2}\end{align}

これはパラメータ\(\lambda_1+\lambda_2\)のポアソン分布の確率関数である。よって、\(X_1+X_2\sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)\)であり、ポアソン分布の再生性が示された。

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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