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ガウス積分【統計学】

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ガウス積分【統計学】

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解析学で重要なガウス積分の証明をみていく。

ガウス積分は、正規分布の確率密度関数の正規化定数を導出したり、正規分布の積率母関数や特性関数を求めたりする際に用いるため、確率論や統計学で非常に重要な役割を果たす。

ガウス積分

ガウス積分

次の積分が成り立つ。\begin{align}\label{eq1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \sqrt{2\pi}.\tag{1}\end{align}これはガウス積分と呼ばれる。この積分と正規分布(ガウス分布)との関係として右辺が正規分布の正規か定数の逆数になっていることである。すなわち、ガウス積分を用いることで、正規分布の正規か定数を計算することが可能となる。正規か定数の具体的な求め方は正規分布の確率密度関数を参照されたい。

ここで、\eqref{eq1}の積分の一般化として、次の積分を考える。

ガウス積分(一般化)

\eqref{eq1}のがガウス積分の一般化は次で与えられる。\begin{align}\label{eq2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx =\sqrt{\cfrac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}, \tag{2}\end{align}ここに、\(a>0\)とする。

証明 平方完成することで、\eqref{eq2}は次のように書ける。

\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx  = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 +\frac{b^2}{4a}+c}dx \\&= e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 }dx\end{align}

ここで、\(y=x-b/(2a)\) の変換を行う。この変換のヤコビアンは\(1\)であるので、上の積分は次となる。

\begin{align}e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 }dx  &=e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2 }dy\\\label{eq3}&= 2e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{0}^{\infty}e^{-ay^2 }dy\tag{3}\end{align}

\eqref{eq3}の右辺の積分を次でおく。

\begin{align}I= \int_{0}^{\infty}e^{-ay^2}dy.\end{align}

このときが

\begin{align}\label{eq4}I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-as^2ds}ds \int_{0}^{\infty}e^{-at^2dt}dt = \int_{0}^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-a(s^2t^2)}dsdt\tag{4}\end{align}

が成り立つ。次の極座標変換

\begin{align}s &= r\cos\theta, \\t &= r\sin\theta\end{align}

のヤコビアンは

\begin{align}\left|\cfrac{\partial(s, t)}{\partial(r, \theta)}\right| &= \begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}\\&=r(\cos^2\theta +\sin^2\theta)\\&=r \end{align}

である。したがって、\eqref{eq4}の2重積分は次のようになる。

\begin{align}I^2 &= \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta \\&=\int_0^{\pi/2}\left[-\cfrac{1}{2a}e^{-ar^2}\right]_0^{\infty}d\theta \\&= \cfrac{1}{2a}\int_0^{\pi/2}d\theta\\&= \cfrac{\pi}{4a}.\end{align}

したがって

\begin{align}&I^2 = \cfrac{\pi}{4a}\\&\Leftrightarrow I = \cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{\pi}{a}}.\end{align}

故に

\begin{align}2e^{\frac{b^2}{4a}+c}I&= 2 \cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}\\&= \sqrt{\cfrac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}\end{align}

である。よって、\eqref{eq2}のガウス積分の一般化が示された。□

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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