解析学で重要なガウス積分の証明をみていく。
ガウス積分は、正規分布の確率密度関数の正規化定数を導出したり、正規分布の積率母関数や特性関数を求めたりする際に用いるため、確率論や統計学で非常に重要な役割を果たす。
ガウス積分
ガウス積分
ここで、\eqref{eq1}の積分の一般化として、次の積分を考える。
ガウス積分（一般化）
証明 平方完成することで、\eqref{eq2}は次のように書ける。
\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 +\frac{b^2}{4a}+c}dx \\&= e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 }dx\end{align}
ここで、\(y=x-b/(2a)\) の変換を行う。この変換のヤコビアンは\(1\)であるので、上の積分は次となる。
\begin{align}e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\bigl\{x-b/(2a)\bigr\}^2 }dx &=e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2 }dy\\\label{eq3}&= 2e^{\frac{b^2}{4a}+c}\int_{0}^{\infty}e^{-ay^2 }dy\tag{3}\end{align}
\eqref{eq3}の右辺の積分を次でおく。
\begin{align}I= \int_{0}^{\infty}e^{-ay^2}dy.\end{align}
このときが
\begin{align}\label{eq4}I^2 = \int_{0}^{\infty} e^{-as^2ds}ds \int_{0}^{\infty}e^{-at^2dt}dt = \int_{0}^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-a(s^2t^2)}dsdt\tag{4}\end{align}
が成り立つ。次の極座標変換
\begin{align}s &= r\cos\theta, \\t &= r\sin\theta\end{align}
のヤコビアンは
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(s, t)}{\partial(r, \theta)}\right| &= \begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\\sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}\\&=r(\cos^2\theta +\sin^2\theta)\\&=r \end{align}
である。したがって、\eqref{eq4}の2重積分は次のようになる。
\begin{align}I^2 &= \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta \\&=\int_0^{\pi/2}\left[-\cfrac{1}{2a}e^{-ar^2}\right]_0^{\infty}d\theta \\&= \cfrac{1}{2a}\int_0^{\pi/2}d\theta\\&= \cfrac{\pi}{4a}.\end{align}
したがって
\begin{align}&I^2 = \cfrac{\pi}{4a}\\&\Leftrightarrow I = \cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{\pi}{a}}.\end{align}
故に
\begin{align}2e^{\frac{b^2}{4a}+c}I&= 2 \cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}\\&= \sqrt{\cfrac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}+c}\end{align}
である。よって、\eqref{eq2}のガウス積分の一般化が示された。□
