楕円型分布族の1つである多変量正規分布に従う確率ベクトルに楕円型分布で導入した極座標変換を行う。
多変量正規分布の極座標変換
多変量正規分布に従う確率ベクトルの極座標変換を行う前に、次の補題を考える。
補題1 2次形式の確率密度関数に関する極座標変換
証明 多次元の極座標変換の定理1より
\begin{align}y_1 &=w\sin\theta_1,\\y_2&=w\cos\theta_1\sin\theta_2,\\y_3 &= w\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_3,\\\vdots&\\y_{n-1} &= w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1},\\y_n&=w\cos\theta_1\cos\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\end{align}
の変換のヤコビアンは\(w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}\)である。\(\boldsymbol{y}\)の確率密度関数\(f(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)を極座標変換することで、\(W, \Theta_1, \ldots, \Theta_{n-1}\)の確率密度関数は
\begin{align}f(w^2)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y_1, \ldots, y_n)}{\partial(\theta_1, \ldots, \theta_{n-1}, w)}\right| = w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}f(w^2)\end{align}
である。したがって、多次元の極座標変換の定理2より、\(W\)の周辺密度関数は次となる。
\begin{align}&\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2} w^{n-1}\cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}f(w^2)d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}d\theta_{n-1}\\&=\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cdots\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2\cdots\cos\theta_{n-2}d\theta_1\cdots d\theta_{n-2}d\theta_{n-1}f(w^2)w^{n-1}\\&=C(n)f(w^2)w^{n-1}.\end{align}
ここで\(u=w^2\)の変換をする。この変換のヤコビアンは
\begin{align}&\cfrac{du}{dr}=2r\\&\Leftrightarrow \cfrac{dr}{du} =(2r)^{-1}=(2u^{\frac{1}{2}})^{-1}\end{align}
であることから、\(U\)の確率密度関数は次で与えられる。
\begin{align}C(n)f(u)u^{\frac{1}{2}(n-1)}\left|\cfrac{dr}{du}\right| &= C(n)f(u)u^{\frac{1}{2}(n-1)}(2u^{\frac{1}{2}})^{-1}\\&=\cfrac{1}{2}C(n)f(u)u^{\frac{1}{2}n-1)}.□\end{align}
系1 多変量正規分布の極座標変換
証明 \(y_1, \ldots, y_n\)がそれぞれ独立に\(N(0,1)\)に従うとき、\(Y_1,\ldots, Y_n\)の同時同時密度関数はそれぞれの周辺密度関数の積で表されることより、同時密度関数は
\begin{align}\prod_{\alpha=1}^n(2\pi)^{-\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}y_{\alpha}^2\right)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}n}\exp\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}\right)\end{align}
となる。ここに\(\boldsymbol{Y}=(Y_1, \ldots, Y_n)\)とする。これは平均ベクトル\(\boldsymbol{0}\)、共分散行列\(\boldsymbol{I}\)の\(n\)変量正規分布の確率密度関数である。ここで次のように、上の\(\boldsymbol{Y}=(y_1, \ldots, y_n)^T\)の確率密度関数を\(f(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y})\)とする。
\begin{align}f(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}) = (2\pi)^{-\frac{1}{2}n}\exp\left(-\cfrac{1}{2}\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{y}\right)\end{align}
補題1より、\(U=\boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y}\)の確率密度関数は\(\frac{1}{2}C(n)f(u)u^{\frac{1}{2}n-1}\)であることから、\(U=\sum_{\alpha=1}^nY_{\alpha}^2\)の確率密度関数は次となる。
\begin{align}\cfrac{1}{2}C(n)f(u)u^{\frac{1}{2}u-1}&=\cfrac{1}{2}\cfrac{2\pi^{\frac{1}{2}n}}{\Gamma(\frac{1}{2}n)}(2\pi)^{-\frac{1}{2}n}\exp\left(-\cfrac{1}{2}u\right)u^{\frac{1}{2}n-1}\\&=\cfrac{u^{\frac{1}{2}n-1}e^{-\frac{1}{2}u}}{2^{\frac{1}{2}n}\Gamma(\frac{1}{2}n)}.□\end{align}
