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多変量のLévyの反転公式の証明

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多変量のLévyの反転公式の証明

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この記事では、多変量のLévyの反転公式の証明をしていく。

多変量のLévyの反転公式

まず多変量のLévyの反転公式の証明の前提として、次の補題を用いる。

補題1 三角関数の不等式

次の積分が成り立つ。\begin{align}\int_0^{\infty}\cfrac{\sin \alpha x}{x}dx = \cfrac{\pi}{2}\mathrm{sgn}\alpha,\end{align}
ここに関数\(\mathrm{sgn}\)は\(\alpha\)についての次の符号関数である。
\begin{align}\mathrm{sgn}\alpha = \left\{\begin{array},1, & (\alpha >0), \\0, & (\alpha=0),\\-1&, (\alpha<0)\end{array}\right. .\end{align}

定理1 多変量のLévyの反転公式

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)が密度関数\(f(\boldsymbol{x})\)、特性関数\(\phi(\boldsymbol{t})\)をもつとき、\(a\in \{a_1,\ldots, a_p\}\)、\(b\in\{b_1, \ldots, b_p\}\)、\(t\in\{t_1,\ldots, t_p\}\)、\(T\in\{T_1,\ldots, T_p\}\)に対して、次がいえる。
\begin{align}&\mu_{\boldsymbol{X}}\bigl(\{a<x<b\}\bigr)\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_p\to\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\left(\cfrac{e^{-it_ja_j}-e^{-it_jb_j}}{it_j}\right)\phi(\boldsymbol{t})\lambda(d\boldsymbol{t}),\end{align}
ここに\(\lambda\)はルベーグ測度とする。

証明 反転公式の右辺について、極限をとらないときFubiniの定理を用いることで次が得られる。

\begin{align}&\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\left(\cfrac{e^{-it_ja_j}-e^{-it_jb_j}}{it_j}\right)\phi(\boldsymbol{t})\lambda(d\boldsymbol{t})\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p(e^{it_j(x_j-s_j)})dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\lambda(d\boldsymbol{t})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j) -i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\lambda(d\boldsymbol{t})\right\}d\boldsymbol{s}.\end{align}

ここで\(\cos t_j(x_j-s_j)-i\sin t_j(x_j-s_j)\)の\(t_j\)についての積分は

\begin{align}&\int_{-T_j}^{T_j}\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j)-i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}dt_j\\&=\left[\cfrac{\sin t_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j}+i\cos t_j(x_j-s_j)\right]_{-T_j}^{T_j}\\&=\cfrac{1}{x_j-s_j}\bigl\{\sin T_j(x_j-s_j)-\sin(-T_j)(x_j-s_j)\bigr\}\\&\ \ \ \ +\bigl\{i\cos T_j(x_j-s_j)-i\cos(-T_j)(x_j-s_j)\bigr\}\\&=\cfrac{1}{x_j-s_j}\bigl\{2\sin T_j(x_j-s_j)\bigr\}+0\\&=\cfrac{2\sin T_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j}\end{align}

となる。したがって

\begin{align}&\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j) -i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}\lambda(d\boldsymbol{t})dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{2\sin T_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{\pi^p}\int_{-T(x-a)}^{T(x-b)}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{\sin u_j}{u_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{u}.\end{align}

ここで、\(T_j\to\infty, j=1,\ldots, p\)のとき補題1より

\begin{align}\int_{-T_j(x_j-a_j)}^{T_j(x_j-b_j)}\cfrac{\sin u_j}{u_j} d\boldsymbol{u}=\left\{\begin{array} ,0, & (x_j<a_j),\\ \cfrac{\pi}{2},& (x_j=a_j),\\ \pi, &(a_j <x_j<b_j),\\ \cfrac{\pi}{2},& (x_j=b_j), \\0,&(x_j>b_j).\end{array}\right.\end{align}

が成り立つ。故に

\begin{align}&\cfrac{1}{\pi^p}\int_{-T(x-a)}^{T(x-b)}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{\sin u_j}{u_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{u}\\&=\prod_{j=1}^p\left[\tfrac{1}{2}\cdot\mathrm{Pr}\{x_j=a_j\}\bigcup \mathrm{Pr}\{x_j=b_j\}+1\cdot\mathrm{Pr}\{a_j<x_j<b_j\}\right]\\&=\mu_{\boldsymbol{X}}\bigl(\{a<x<b\}\bigr).□\end{align}

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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