【統計学】二項分布の確率質量関数　

二項分布の確率質量関数について解説する。

二項分布の確率質量関数の定義を与え、解釈の仕方や二項分布の例についてを紹介する。

また、ベルヌーイ分布との関係についても触れる。

二項分布の期待値と分散や分布関数については次の記事を参照。

: 離散分布のモーメント【統計学】
ここでは、離散分布に対するモーメントの定義や様々な離散分布のモーメントの導出を行う。モーメントの定義を行う前に、離散確率変数の期待値や一般化した関数に対する期待値を述べる。離散分布の期待値離散確 ...
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二項分布の確率質量関数

二項分布の確率質量関数を紹介する。二項分布の確率質量関数は次の通り。

二項分布の確率質量関数

確率変数\(X\)はパラメータ\(n\)、\(p\)の二項分布\(B(n, p)\)に従うとする。\(X\)は次の確率質量関数を持つ。

\begin{align} P(k)&= \mathrm{Pr}\{X = k \} \\ \label{eq1}&= \begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix} p^k (1- p)^{n -k} , \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\}. \tag{1} \end{align}

上に示すように\(p\)を成功する確率とすると、二項分布は\(n\)回の試行中\(k\)回成功する確率として表される。すなわち、成功する確率が\(p\)である\(n\)回のベルヌーイ試行の成功数は二項分布に従うことを意味する。

今、パラメータ\(p\)のベルヌーイ分布に独立同一に従う\(n\)個の確率変数を\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\)とする。\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\)のうちいずれかの\(k\)個が\(1\)となる確率を考える。\(n\)個中\(k\)個のインデックスを表す集合を\(A\subseteq \{0, 1, \ldots, n\},\ |A| = k\)とすると、\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\)はそれぞれ互いに独立なので、\(k\)回成功する確率は次のように表現できる。

\begin{align} \mathrm{Pr}\left\{\bigcap_{i \in A} Y_i = 1\ \mathrm{and} \bigcap_{i \in B = \overline{A}} Y_i = 0\right\} &= \prod_{i = 1}^k\mathrm{Pr}\{ Y_i = 1\} \cdot \prod_{i = 1}^{n - k}\mathrm{Pr}\{ Y_i = 0\}\\ \label{eq2} &= p^k (1-p)^{n - k} .\tag{2}\end{align}

また、\(Y_1,Y_2, \ldots, Y_n\)から\(k\)個選ぶ組み合わせは\(_nC_k\)であることから、\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\)に関する集合\(A\)の組み合わせは\(_nC_k\)ある。したがって、\(n\)個中\(k\)個が成功する確率は次となり、\eqref{eq1}の二項分布の確率質量関数と一致する。

\begin{align}\mathrm{Pr} \left\{\sum_{i = 1}^n Y_i = k \right\} &= \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \mathrm{Pr}\left\{\bigcap_{i \in A} Y_i = 1\ \mathrm{and} \bigcap_{i \in B = \overline{A}} Y_i = 0\right\} \\ &= \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n - k}. \end{align}

二項係数

\begin{align}(x + y)^n = \sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix} x^k y^{n - k} \end{align}

より\(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\)について和をとると、次のように確率変数が取りうるすべての事象についての和は\(1\)となり、確率質量関数の定義を満たしていることが確認できる。

\begin{align}\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} p^k (1-p)^{n - k } &= \bigl( p + (1 - p) \bigr\}^n \\ &= 1^n = 1.\end{align}

二項分布の例

コイン投げを例に二項分布について見ていく。表と裏が出る確率が同じであるコインがあるとする。\(10\)回のコイン投げにおける表の数の確率変数は二項分布\(B(10, 1/2)\)に従い、次の確率質量関数を持つ。

\begin{align} P(k) =\begin{pmatrix}10 \\ k \end{pmatrix} \left(\cfrac{1}{2} \right)^k \left( 1 - \cfrac{1}{2} \right)^{10 - k}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, 10\}.\end{align}

このとき、10個のコインを投げた時に表が3回出る確率は次で与えられる。

\begin{align} \mathrm{Pr}\{\mathrm{the\ number\ of\ heads} = 3\} &= \begin{pmatrix}10 \\ 3 \end{pmatrix} \left( \cfrac{1}{2}\right)^3 \left(1 - \cfrac{1}{2}\right)^{10 -3 }\\ &= \cfrac{10!}{3!(10 - 3)!} \left( \cfrac{1}{2} \right)^{10}\\ &= \cfrac{15 }{128}.\end{align}

他の\(k \in \{0, 1, \ldots, 10\}\)についても同様に計算でき、それぞれの確率は次の表となる。

二項分布の確率\(n=10,\ p=1/2\)
\(k\)	\(P(k)\)
\(0\)	\(1/1024\)
\(1\)	\(10/1024\)
\(2\)	\(45/1024\)
\(3\)	\(120/1024\)
\(4\)	\(210/1024\)
\(5\)	\(252/1024\)
\(6\)	\(210/1024\)
\(7\)	\(120/1024\)
\(8\)	\(45/1024\)
\(9\)	\(10/1024\)
\(10\)	\(1/1024\)

二項分布p=1/2

今、表の出る確率が\(1/ 2\)であるため、二項分布の期待値である\(10 \times (1/2) = 5 \)のときの確率が一番大きく、\(0\)回や\(10\)回といった極端な回数になるほど確率は小さくなる。

次にパラメータ\(p\)が\(9 / 10\)であるときを考える。このとき、3回表が出る確率は

\begin{align}\mathrm{Pr}\{\mathrm{the\ number\ of\ heads} = 3\} &= \begin{pmatrix}10 \\ 3 \end{pmatrix} \left( \cfrac{9}{10}\right)^3 \left(1 - \cfrac{9}{10}\right)^{10 -3 }\\ &= \cfrac{10!}{3!(10 - 3)!} \cfrac{9^3}{10^{10}} \\ &= \cfrac{ 2187}{ 250,000,000} \approx 0.000008748 \end{align}

であり、\(p = 1/ 2\)であるときの確率より大きくなる。同様に、他の\(k\)について表にまとめると次となる。

二項分布の確率\(n=10,\ p=9/10\)
\(k\)	\(P(k)\)
\(0\)	\(1/10^{10}\)
\(1\)	\(90/10^{10}\)
\(2\)	\(3645/10^{10}\)
\(3\)	\(87480/10^{10}\)
\(4\)	\(137810/10^{10}\)
\(5\)	\(14,880,348/10^{10}\)
\(6\)	\(111,602,610/10^{10}\)
\(7\)	\(573,956,280/10^{10}\)
\(8\)	\(1,937,102,445/10^{10}\)
\(9\)	\(3,874,204,890/10^{10}\)
\(10\)	\(3,486,784,401/10^{10}\)