【統計学】母分散の比の信頼区間

2つの母集団の母分散の比の信頼区間を解説する。

母分散の比の信頼区間とその導出方法についてみていく。母分散の比がF分布に従うことを用いて母分散の比の信頼区間を構成する。

母分散の比の検定については次の記事を参照されたい。

: 【統計学】母分散の信頼区間
標本が正規分布に従う場合の母分散の信頼区間およびその導出についてみていく。信頼区間の定義から分散の\(100(1-\alpha)\)%信頼区間を構成していく。母平均の信頼区間については次の記事を参 ...
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信頼区間

信頼区間の定義は次で与えられる。

信頼区間

\(x_1, x_2,\ldots, x_n\)はパラメータ\(\theta\)をもつ分布からの大きさ\(n\)の標本とする。このとき、パラメータ\(\theta\)をもつ統計量を\(g(\theta)\)とすると、\(\theta\)の\(100(1 - \alpha ) \)%信頼区間は

\begin{align}\label{eq1} \mathrm{Pr}\{ l \leq g( \theta) \leq u\} = 1-\alpha \tag{1}\end{align}

を満たす区間\([l, u]\)で与えられる。

例えば\(\alpha = 0.05\)であるとき、\eqref{eq1}はパラメータ\(\theta\)は\(l\)と\(u\)の間に95%で存在することを意味する。また、\((1- \alpha)\)は信頼水準（confidence level, C.I.）と呼ばれる。

母分散の比の信頼区間

正規分布\(N(\mu_1, \sigma_1^2)\)から大きさ\(n_1\)の無作為標本\(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n_1}\)、\(N(\mu_2, \sigma_2^2)\)から大きさ\(n_2\)の無作為標本\(x_{21}, x_{22}, \ldots, x_{2n_2}\)のが得られたとする。母分散の比\(\sigma_1^2 / \sigma_2^2\)の\(100(1- \alpha)\)%信頼区間を紹介する。以降、標本平均を\(\bar{x}_i = n_i^{-1} \sum_{j = 1}^{n_i} x_{ij}\)、不偏標本分散を\(s_i^2 = (n_i -1)^{-1} \sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij} - \bar{x}_i)^2\)、第一自由度\(n_1\)、第二自由度\(n_2\)のF分布の上側\(\alpha\)点を\(F_{n_1, n_2, \alpha}\)とする。

母分散の比の信頼区間

母分散の比\(\sigma_1^2 / \sigma_2^2\)の\(100(1 - \alpha)\)%信頼区間は次で与えられる。

\begin{align} \label{eq2} \left[ \cfrac{s_1^2}{s_2^2}\cfrac{1}{F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha / 2}} , \cfrac{s_1^2}{s_2^2} F_{n_2 - 1, n_1 - 1, \alpha/ 2} \right]. \tag{2} \end{align}

母分散の比の信頼区間の導出

標本\(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n_1}\)と\(x_{21}, x_{22}, \ldots, x_{2n_2}\)に対応する確率変数をそれぞれ\(X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1n_1}\)と\(X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2n_2}\)とする。また標本平均\(\bar{x}_i\)不偏標本分散\(s_i^2\)に対応する確率変数をそれぞれ大文字\(\bar{X}_i\)と\(S_i^2\)ので表す。標本分散の分布より、\((n_i - 1) S_i^2 / \sigma_i^2 \sim \chi_{n_i-1}^2\)である。今、\(X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1n_1}\)と\(X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2n_2}\)はそれぞれ互いに独立であることから、\(S_1^2\)と\(S_2^2\)は独立である。よって、F分布の性質より

\begin{align}F &= \cfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \\ &\overset{d}{=} \cfrac{\frac{1}{n_1 - 1} \chi_{n_1 - 1}^2}{\frac{1}{n_2 - 1} \chi_{n_2 - 1}^2} \sim F_{n_1 - 1, n_2 -1 }. \end{align}\begin{align} &\cfrac{1}{F_{n_2 - 1, n_1 - 1, \alpha / 2}} \leq F \leq F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha/ 2}\\ &\Leftrightarrow \cfrac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \leq \cfrac{(n_1 - 1) S_1^2 / \sigma_1^2}{(n_2 - 1) S_2^2 / \sigma_2^2} \leq F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha/ 2}.\end{align}

故に、標本\(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n_1}\)と\(x_{21}, x_{22}, \ldots, x_{2n_2}\)が与えられた下で、母分散の比\(\sigma_1^2 / \sigma_2^2\)の信頼区間は次で与えられる。

\begin{align} &\cfrac{1}{F_{n_2 - 1, n_1 - 1, \alpha / 2}} \leq \cfrac{s_1^2 / \sigma_1^2}{s_2^2 / \sigma_2^2} \leq F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha/ 2}\\ &\Leftrightarrow \cfrac{s_2^2}{s_1^2}\cfrac{1}{F_{n_2 - 1, n_1 - 1, \alpha / 2}} \leq \cfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2} \leq \cfrac{s_2^2}{s_1^2} F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha/ 2} \\ &\Leftrightarrow \cfrac{s_1^2}{s_2^2}\cfrac{1}{F_{n_1 - 1, n_2 - 1, \alpha / 2}} \leq \cfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq \cfrac{s_1^2}{s_2^2} F_{n_2 - 1, n_1 - 1, \alpha/ 2}.\end{align}

\eqref{eq2}の信頼区間が得られた。