系1 正定値行列から一部を削除した行列
\(p\times p\)正定値行列から\(p-q\)個の行を無くし、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした\(q\times q\)行列は正定値行列である。
証明 \(\boldsymbol{C}\)、\(\boldsymbol{D}\)を\(p\times p\)正定値行列とする。\(\boldsymbol{C}\)から\(p-q\)個の行を無くし、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした\(q\times q\)行列を\(\boldsymbol{A}\)をとする。ここで\(\boldsymbol{D}\)から\(\boldsymbol{C}\)で無くした\(p-q\)個の列に対応する列を無くし、これを\(\boldsymbol{B}\)とする。今\(\boldsymbol{D}\)を\(\boldsymbol{D}\)を\(p\times p\)単位行列とし、\(\boldsymbol{B}\)のランクは\(q\)となる。任意の\(q\)次元列ベクトル\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)に対して、\(\boldsymbol{By}\neq0\)がいえるので、正定値行列について#1の定理1と同様にして、\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列である(\((\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{CBy}=(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{By}>0\)である。ここに\(\boldsymbol{F}\)は、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{FF}^T\)を満たす正定値行列である。)。ここまでの結果をまとめると、正定値行列\(\boldsymbol{D}\)は
である。この行列から\(p-q\)個の行、列を無くした行列\(\boldsymbol{B}\)は
であり\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{B})=q\)である。\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は
である。これは\(\boldsymbol{C}\)から各行、列を無くした際にできる行列\(\boldsymbol{A}\)と一致する。よって\(q\times q\)正定値行列\(\boldsymbol{A}\)は\(p\times p\)正定値行列\(\boldsymbol{C}\)から\(p-q\)個の行、その行に対応する\(p-q\)個の列を無くした行列であり、これは正定値行列である。□
定理1 \(p\times q\)行列に対する正定値行列の性質
\(\boldsymbol{C}\)が\(p\times p\)正定値行列であり、\(\boldsymbol{B}\)が\(p\times q\)行列（\(q\leq p\)）が\(\mathrm{rank}(\boldsymbol{B})=q\)であるとき、\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列である。
証明 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{By}\)を満たす\(q\)次元列ベクトル\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)を与える。\(\boldsymbol{B}\)のランクは\(q\)であるので\(\boldsymbol{By}=\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\)である。よって\begin{align}\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CBy}&=(\boldsymbol{By})^T\boldsymbol{C}(\boldsymbol{By})\\&=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Cx}>0.\end{align}\(\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)が正定値行列であることは上の式よりいえるため証明された。逆に\(\boldsymbol{B}\)についてランクが\(q\)であるときのみ\((\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{CB}\)は正定値行列であることがわかる。もしそうでなければ\(\boldsymbol{By}=\boldsymbol{0}\)であるような\(\boldsymbol{y}\neq\boldsymbol{0}\)が存在する。□
