独立なカイ2乗分布がの積の分布を導出する。
カイ2乗分布は再生性を持つように、独立なカイ2乗分布の和の分布は再びカイ2乗分布に従い、さらに積の分布もカイ2乗分布に従う確率変数で表現することが可能である。
この積に関する性質は一般化分散の分布を導出する際など非常に重要である。
独立なカイ2乗分布の積の分布
カイ2乗分布の積
\(\chi_{n}^2\)と\(\chi_{n-1}^2\)が独立であるとき、\(\chi_{n}^2\chi_{n-1}^2\)は\((\chi_{2n - 2}^2)^2/4\)に従う。
証明 \(X\sim \chi_{n}\)、\(Y \sim \chi_{n-1}^2\)とおくと、それぞれ独立であるので\(X\)と\(Y\)の同時密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f_{X,Y}(x, y) &= \cfrac{x^{\frac{1}{2}n - 1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}n} \Gamma(\frac{1}{2}n)} \cfrac{y^{\frac{1}{2}(n-1) - 1} e^{-\frac{y}{2}}}{2^{\frac{1}{2}(n-1)}\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(n - 1)\bigr]}\\ &= C_1x^{\frac{1}{2}n - 1}y^{\frac{1}{2}(n-1) -1}e^{-\frac{1}{2}(x+y)}, \end{align}
ここに、\(C_1^{-1}= 2^{\frac{1}{2}(2n- 1)}\Gamma(\frac{1}{2}n)\Gamma[\frac{1}{2}(n-1)]\)である。ここで次の変数変換を考える。
\begin{align}z^2 = 4xy.\end{align}この変換のヤコビアンは\begin{align}\left|\cfrac{\partial(x, y}{\partial(x, z)}\right| &= \begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial x} & \cfrac{\partial x}{\partial z} \\ \cfrac{\partial y}{\partial x} & \cfrac{\partial y}{\partial z} \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix}1 & 0\\ -\frac{z^2}{4x^2}&\frac{z}{2y} \end{vmatrix} = \cfrac{z}{2x}\end{align}
であることから、\(z\)と\(x\)の同時密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f_{X, Z} &= C_1 x^{\frac{1}{2} n - 1} \bigl\{z^2 (4x)^{-1}\bigr\}^{\frac{1}{2}(n-1) -1 } e^{-\frac{1}{2}(x + z^2(4x)^{-1})}\left|\cfrac{\partial (x, y) }{\partial(x, z)}\right|\\&=C_1 x^{\frac{1}{2} n - 1} \bigl\{z^2 (4x)^{-1}\bigr\}^{\frac{1}{2}(n-1) -1 } e^{-\frac{1}{2}(x + z^2(4x)^{-1})}\cfrac{z}{2x}\\&=C_1\cfrac{1}{8} (z^2)^{\frac{1}{2}n-1} x^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2} [ x + z^2(4x)^{-1}]}\\ &= C_2 (z^2)^{\frac{1}{2}n - 1} x^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}[x + z^2(4x)^{-1}]},\end{align}
ここに\(C_2^{-1} = 8C_1^{-1}\)。故に\(Z\)の周辺密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f_Z(z) &= C_2 (z^2)^{\frac{1}{2}n - 1}h(z)\\&= C_2z^{n-2} h(z),\end{align}
ここに
\begin{align}\int_0^{\infty}x^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}[x + z^2(4x)^{-1}]} dx.\end{align}
ここで、\(Z\)の周辺密度関数の微分を考える。\(h(z)\)を\(z\)に関して微分することで次を得る。
\begin{align}h'(z) &= \cfrac{d}{dz}h(z)\\ &= \int_0^{\infty}x^{-\frac{1}{2}} \cfrac{d}{dz}\left[e^{-\frac{1}{2}[x + z^2(4x)^{-1}]}\right] dx \\&=\int_0^{\infty}x^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{-\cfrac{1}{2}\bigl[x + z^2 (4x)^{-1}\bigr]\right\} \cfrac{d}{dz}\left\{-\cfrac{1}{2}\bigl[x + z^2(4x)^{-1}\bigr] \right\} dx \\ &= \int_0^{\infty}x^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{-\cfrac{1}{2}\bigl[x + z^2 (4x)^{-1}\bigr]\right\} \left[ -\cfrac{z}{4x}\right] dx\\\label{eq1} &= -\cfrac{1}{4}z\int_0^{\infty}x^{-\frac{3}{2}} \exp\left\{-\cfrac{1}{2}\bigl[x + z^2 (4x)^{-1}\bigr]\right\} dx.\tag{1} \end{align}
ここで、\(u = z^2(4x)^{-1}\)とおく。\(x\to 0 \)のとき\(u \to \infty\)であり、\(x \to \infty\)のとき\(u \to 0\)である。また\(dx / du = -z^2(4u^2)^{-1}\)であることから、\eqref{eq1}の微分は次のようになる。
\begin{align}h'(z) &= -\cfrac{1}{4}z\int_{\infty}^0z^2\bigl[ (4u)^{-1}\bigr]^{-\frac{3}{2}} \exp\left\{-\cfrac{1}{2}\bigl[z^2 (4u)^{-1} + u\bigr]\right\} \bigl[-z^2(4u^2)^{-1}du\bigr]\\ &= -\cfrac{1}{4}\int_{0}^{\infty} u^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{-\frac{1}{2} \bigl[u + z^2 (4u)^{-1}\bigr]\right\}du\\\label{eq2} &= -\cfrac{1}{2}h(z).\tag{2}\end{align}
よって、\eqref{eq2}の微分方程式を解くことで
\begin{align}&h'(z) = -\cfrac{1}{2}h(z)\\&\Leftrightarrow e^{\frac{1}{2}z} h'(z) + \cfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}z}h(z)\\&\Leftrightarrow \cfrac{dh(z)}{dz}e^{\frac{1}{2}z} + h(z)\left(\cfrac{d}{dz}e^{\frac{1}{2}z} \right) = 0\\ &\Leftrightarrow \left[\cfrac{d}{dz} h(z)e^{\frac{1}{2}z}\right] = 0\\ &\Leftrightarrow h(z)e^{\frac{1}{2}z} = C_3\\&\Leftrightarrow h(z) =C_3 e^{-\frac{1}{2}z} = e^{-\frac{1}{2}z+ C_3^*}\end{align}
を得る。ここに、\(e^{C_3^*} = C_3\)である。このことから、\(Z\)の周辺密度関数は
\begin{align}f_Z(z) &= C_2z^{n-2}h(z) \\\label{eq3}&= C_4z^{\frac{1}{2}(2n - 2) - 1}e^{-\frac{1}{2}z}\tag{3}\end{align}
となる。ここに、\(C_4 = C_2C_3\)である。\eqref{eq3}は自由度\(2n-2\)のカイ2乗分布の確率密度関数である。したがって、
\(4xy =z^2 \sim (\chi_{2n-2}^2)^2 \Leftrightarrow xy\sim (\chi_{2n-2}^2)/4\)
である。故に、独立な2つのカイ2乗変数\(\chi_n^2\)と\(\chi_{n-1}^2\)の積\(\chi_n^2\chi_{n-1}^2\)は\((\chi_{2n-2}^2)/4\)に従う。□
