非心カイ2乗分布は、平均が\(0\)とは異なり分散が\(1\)の正規分布の2乗和から成る分布である。
正規分布の2乗和で表されることから、正規分布の確率密度関数を変数変換することによって非心カイ2乗分布の確率密度関数を導出する。
カイ2乗分布の確率密度関数については、カイ2乗分布の確率密度関数を参照されたい。
非心カイ2乗分布の確率密度関数
非心カイ二乗分布の確率密度関数
非心カイ2乗分布の確率密度関数は以下のようにして与えられる。
確率変数\(X\)は自由度\(p\)、非心パラメータ\(\lambda\)の非心カイ2乗分布に従うとする。このとき、\(X\)は次の確率密度関数をもつ。
\begin{align}\label{eq1} f_X(x) = \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p}} e^{- \frac{1}{2}(\lambda + x)} x^{\frac{1}{2}p - 1} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\left(\cfrac{\lambda}{4}\right)^{\beta}\cfrac{1}{ \beta! \Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}x^{\beta}. \tag{1}\end{align}
非心カイ2乗分布は、\(Z_i \sim N(\mu_i, 1),\ i = 1, \ldots, p\)の確率変数の和\(X = \sum_{i=1}^p Z_i^2\)で表される。ここに、\(\mu_i \neq 0,\ i = 1, \ldots, p\)。
また、\(\lambda= 0\)のとき、\eqref{eq1}の確率密度関数は次の中心カイ二乗分布の確率密度関数に一致する。
\begin{align}f_X(x) = \cfrac{e^{-\frac{1}{2}x} x^{\frac{1}{2}p - 1}}{2^{\frac{1}{2}p} \Gamma(\frac{1}{2}p)} .\end{align}
確率密度関数の導出
正規分布に従う確率変数から非心カイ2乗分布の確率密度関数を導出する。
簡便のため、導出には多変量正規分布に従う\(p\)次元確率ベクトル\(\boldsymbol{Y} \sim N(\boldsymbol{\lambda} , \boldsymbol{I})\)を用いる。ここで、最初の行が次で与えられる直交行列\(\boldsymbol{Q}\)を定義する。
\begin{align}\label{eq2} q_{1i} &= \cfrac{\lambda_i}{\| \boldsymbol{\lambda}\|},\ \ i = 1, \ldots, p. \tag{2}\end{align}
今、\(\boldsymbol{Q}\)が直交行列であることから
\begin{align}\boldsymbol{QQ}^T &= \begin{pmatrix} \sum_{i = 1}^p q_{1i}^2 & \sum_{i=1}^p q_{1i}q_{2i} & \cdots & \sum_{i=1}^p q_{1i}q_{pi} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=1}^p q_{pi}q_{1i} & \sum_{i=1}^p q_{pi}q_{2i} & \cdots & \sum_{i=1}^p q_{pi}^2 \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{I}.\end{align}
上式より、\(\sum_{j=1}^p q_{1j} q_{ij} = \sum_{j=1}^p \lambda_{j} q_{i j} / \|\boldsymbol{\lambda}\| = 0,\ i= 2, \ldots, p\)であり、このことから\(\sum_{j= 1}^p \lambda_{j}q_{ij} = 0, \ i = 2, \ldots, p\)である。また、この関係を用いると\(\boldsymbol{Q\lambda}\)について、次が成り立つ。
\begin{align}\mathrm{Q}\boldsymbol{\lambda} &= \begin{pmatrix}\sum_{i=1}^p q_{1i}\lambda_i \\\sum_{i=1}^pq_{2i}\lambda_i \\ \vdots\\ \sum_{i=1}^p q_{pi}\lambda_i \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}\sum_{i=1}^p \cfrac{\lambda_i}{\|\boldsymbol{\lambda}\|}\lambda_i \\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\cfrac{\|\boldsymbol{\lambda}\|^2}{\|\boldsymbol{\lambda}\|} \\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}\\ \\ &= \begin{pmatrix} \|\boldsymbol{\lambda}\| \\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{pmatrix} .\end{align}
よって、多変量正規分布の線形性より\(\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{QY}\)の平均ベクトルと共分散行列はそれぞれ次となる。
\begin{align}\mathrm{E}[\boldsymbol{Z}] &=\boldsymbol{Q}\mathrm{E}[\boldsymbol{Y}]\\ &=\mathrm{Q}\boldsymbol{\lambda} ,\\ \mathrm{Var}[\boldsymbol{Z}] &= \boldsymbol{Q}\mathrm{Var}[\boldsymbol{Y}]\boldsymbol{Q}^T\\&= \boldsymbol{Q}\boldsymbol{I}\boldsymbol{Q}^T\\&= \boldsymbol{I}.\end{align}
したがって、\(\boldsymbol{Z} \sim N(\boldsymbol{\tau}, \boldsymbol{I})\)。ここに、\(\boldsymbol{\tau}\)は次で与えられる。
\begin{align}\label{eq3} \boldsymbol{\tau} = \begin{pmatrix} \|\boldsymbol{\lambda}\| \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}.\tag{3}\end{align}
次に、2乗和の分布を考える。正規分布の2乗和から成る確率変数\(V\)を以下のように定義する。
\begin{align} V &= \boldsymbol{Y}^T\boldsymbol{Y} \\&= \boldsymbol{Z}^T\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{QZ} \\&= \boldsymbol{Z}^T \boldsymbol{Z}\\ &=\sum_{i=1}^p Z_{i}^2. \end{align}
また、確率変数\(W\)を次のように定義する。
\begin{align}W = \sum_{i=2}^p Z_i^2.\end{align}
このとき、\(Z_i,\ i = 1,\ldots, p\)はそれぞれ独立であり、\(\mathrm{E}[Z_i] = 0,\ i = 2,\ldots, p\)であることから、\(W\)は自由度\(p-1\)のカイ二乗分布に従う。よって、\(W\)は次の確率密度関数をもつ。
\begin{align}f_W(w) &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2} (p-1) } \Gamma\bigl[\frac{1}{2} (p-1) \bigr]} w^{\frac{1}{2} (p-1)} e^{-\frac{1}{2}w} .\end{align}
また、\(Z_1\)と\(W\)も独立であるので、\(Z_1\)と\(W\)の同時密度関数はそれぞれの周辺密度関数の積となる。
\begin{align} f_{Z_1, W}(z_1, w) &= f_{Z_1} (z_1) f_W(w) \\&= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (z_1 - \tau)^2}\cfrac{1}{2^{\frac{1}{2} (p-1) } \Gamma\bigl[\frac{1}{2} (p-1) \bigr]} w^{\frac{1}{2} (p-1) - 1} e^{-\frac{1}{2}w}\\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2} (p-1) } \Gamma\bigl[\frac{1}{2} (p-1) \bigr]} e^{-\frac{1}{2}(z_1^2 - 2z_1 \tau + \tau^2)} w^{\frac{1}{2}(p-1)-1} e^{-\frac{1}{2}w} \\ &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p} \sqrt{\pi} \Gamma\bigl[\frac{1}{2} (p-1) \bigr]} e^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + z_1^2 + w)} w^{\frac{1}{2}(p-3)} e^{\tau z_1} \\\label{eq4} &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + z_1^2 + w)}w^{\frac{1}{2} (p-3)} \sum_{\alpha=0}^{\infty} \cfrac{(\tau z_1)^{\alpha}}{\alpha!}, \tag{4}\end{align}
ここに\(C^{-1} = 2^{\frac{1}{2}p} \sqrt{\pi}\Gamma[\frac{1}{2} (p-1)]\)である。\(V= W+ Z_1^2\)と\(Z_1\)の同時密度関数は\(w= v - z_1^2\)の変数変換により得られる。この変換のヤコビアンは
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(z_1, w)}{\partial(z_1, v)}\right| &=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial z_1}{\partial z_1} & \cfrac{\partial z_1}{\partial v} \\ \cfrac{\partial w}{\partial z_1 } & \cfrac{\partial w}{\partial v}\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}1 & \cfrac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}\\ 0 & 1\end{vmatrix} \\&= 1\end{align}
であることから、\(V\)と\(Z_1\)の同時密度関数は次となる。
\begin{align}f_{V, Z_1}(v, z_1) &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} (v - z_1^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} \sum_{\alpha = 0}^{\infty} \cfrac{\tau^{\alpha} z_1^{\alpha} }{\alpha!} \left| \cfrac{dw}{du}\right| \\ &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} (v - z_1^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} \sum_{\alpha = 0}^{\infty} \cfrac{\tau^{\alpha} z_1^{\alpha}}{\alpha!} \cdot 1\\ \label{eq5}&= C e^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} (v - z_1^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} \sum_{\alpha = 0}^{\infty} \cfrac{\tau^{\alpha} z_1^{\alpha}}{\alpha!}. \tag{5} \end{align}
次に、\(V\)と\(U = Z_1V^{-\frac{1}{2}}\)の同時密度関数を求める。この変換のヤコビアンは
\begin{align}\left| \cfrac{\partial(v, z_1)}{\partial (v, u)}\right| &= \begin{vmatrix}\cfrac{\partial v}{\partial v} & \cfrac{\partial v}{\partial u}\\ \cfrac{\partial z_1}{\partial v} & \cfrac{\partial z_1}{\partial u}\end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix}1 & 2u \\ 0& v^{\frac{1}{2}} \end{vmatrix} \\ &= v^{\frac{1}{2}}\end{align}
であることから、\(V\)と\(U = Z_1V^{-\frac{1}{2}}\)の同時密度関数は
\begin{align}&Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} \left[v - (v^{\frac{1}{2}}u)^2\right]^{\frac{1}{2}(p-3) } \sum_{\alpha=0}^{\infty} \cfrac{\tau^{\alpha} (v^{\frac{1}{2} u})^{\alpha}}{\alpha!} \left|\cfrac{dz_1}{du} \right| \\ &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} \left[v(1 - u^2)\right]^{frac{1}{2}(p-3) } \sum_{\alpha=0}^{\infty} \cfrac{\tau^{\alpha} v^{\frac{1}{2}\alpha} u^{\alpha}}{\alpha!} v^{\frac{1}{2}} \\ \label{eq6} &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}(p-2)} (1 - u^2)^{\frac{1}{2}(p-3)}\sum_{\alpha = 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{\alpha v^{\frac{1}{2}\alpha} u^{\alpha}}}{\alpha!}\tag{6} \end{align}
となる。今、
\begin{align}& z_1^2 \leq \sum_{i = 1}^p z_i^2\\ &\Leftrightarrow z_1^2 \leq V\\&\Leftrightarrow -v^{\frac{1}{2}}\leq z_1 \leq v^{\frac{1}{2}} \end{align}
であることから、\( -1 \leq z_1 / \sqrt{v}\leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq u\leq 1\)。故に、\(v\)が与えられたときの\(z_1\)の取りうる範囲は\(-v^{\frac{1}{2}} \leq z_1\leq v^{\frac{1}{2}}\)であり、\(u\)の取りうる範囲は\(-1 \leq u\leq 1\)である。\eqref{eq6}を項別に\(u\)について積分すると、\(\alpha\)が奇数の項は\(u\)の奇関数であるので、\(\alpha\)が奇数の項の積分は\(0\)となる。他の\(\alpha\)が偶数である項について\(u = s^{\frac{1}{2}}\)を適用することで、\eqref{eq6}の積分は次のようになる。
\begin{align}\int_{-1}^1 (1-u^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} u^{2\beta} du &= 2\int_0^1 (1-u^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} u^{2\beta} du \\ &= 2\int_0^1 (1-s)^{\frac{1}{2}(p-3)} s^{\beta} \cfrac{1}{2}s^{-\frac{1}{2}}ds\\&= \int_0^1(1-s)^{\frac{1}{2}(p-3)} s^{\beta - \frac{1}{2}} ds\\ &= \int_0^1 (1-s)^{\frac{1}{2}(p-1)- 1} s^{(\beta + \frac{1}{2}) - 1}ds \\ &= B\bigl[\tfrac{1}{2}(p-1) , \beta + \tfrac{1}{2}\bigr]\\ &= \cfrac{\Gamma\bigl[ \frac{1}{2} (p-1) \bigr]\Gamma(\beta + \frac{1}{2})}{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1) + \beta + \frac{1}{2}\bigr]}\\ \label{eq7} &= \cfrac{\Gamma\bigl[ \frac{1}{2} (p-1) \bigr]\Gamma(\beta + \frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}.\tag{7}\end{align}
このことから\(V\)の周辺密度関数は
\begin{align}f_V(v) &= \int_{-1}^1 Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}(p-2)} (1-u^2)^{\frac{1}{2}(p-3)} \sum_{\alpha= 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{\alpha}v^{\frac{1}{2}\alpha}u^{\alpha}}{\alpha!} du\\ &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}(p-2)} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{2\beta}v^{\beta}}{(2\beta)!}\int_{-1}^1 (1-u^2)^{\frac{1}{2}(p-3)}u^{2\beta} du\\ &= Ce^{-\frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}(p-2)} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{2\beta}v^{\beta}}{(2\beta)!} \cfrac{\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(p-1)\bigr] \Gamma(\beta + \frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)} \\\label{eq8} &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p} \sqrt{\pi}} e^{- \frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}p - 1} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{2\beta}v^{\beta}}{(2\beta)!} \cfrac{\Gamma(\beta + \frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}\tag{8}\end{align}
となる。また、\eqref{eq8}をさらに変形するために、次のガンマ関数の倍数公式を用いる。
\begin{align}\label{eq9} \Gamma(2\beta + 1) = \Gamma(\beta + \tfrac{1}{2}) \Gamma(\beta + 1) 2^{2\beta} / \sqrt{\pi} \tag{9} \end{align}
よって、\eqref{eq8}は次のように表される。
\begin{align}f_V(v) &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p} \sqrt{\pi}} e^{- \frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}p - 1} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\cfrac{\tau^{2\beta}v^{\beta}}{(2\beta)!} \cfrac{\sqrt{\pi} \Gamma(2\beta + 1) / \bigl\{\Gamma(\beta +1)2^{2\beta}\bigr\}}{\Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}\\ &=\cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p}} e^{- \frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}p - 1} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\left(\cfrac{\tau^2}{2^2}\right)^{\beta}\cfrac{\Gamma(2\beta + 1)}{(2\beta)!\Gamma(\beta +1)\Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}v^{\beta} \\\label{eq10} &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}p}} e^{- \frac{1}{2}(\tau^2 + v)} v^{\frac{1}{2}p - 1} \sum_{\beta= 0}^{\infty}\left(\cfrac{\tau^2}{4}\right)^{\beta}\cfrac{1}{ \beta! \Gamma(\frac{1}{2}p + \beta)}v^{\beta}.\tag{10}\end{align}
これは自由度\(p\)、非心パラメータ\(\tau^2\)の非心カイ2乗分布の確率密度関数である。□
