t分布の確率密度関数の導出方法を紹介する。
標準正規分布の確率密度関数とカイ2乗分布の確率密度関数からt分布の確率密度関数を導く。
t分布に従う統計量は正規分布に従う確率変数から構成されており、変数変換によりt分布の確率密度が得られる。
正規分布とカイ2乗分布の確率密度関数については、それぞれ正規分布の確率密度関数とカイ2乗分布の確率密度関数を参照されたい。
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t分布の確率密度関数
確率密度関数
標準正規分布に従う確率変数を\(Z\sim N(0, 1)\)、自由度\(n\)のカイ二乗分布に従う確率変数を\(Y \sim\chi_n^2\)とし、それぞれ独立に分布するとする。このとき、t分布に従う確率変数は次のように表現できる。
\begin{align}\label{eq2}X = \cfrac{Z}{\sqrt{Y/n}}.\tag{2}\end{align}
また、特殊な例として\(\nu=1\)のとき、次の\eqref{eq1}の確率密度関数はコーシー分布の確率密度関数に一致する。
\begin{align}f(x)=\cfrac{1}{\pi(1+x^2)}.\end{align}
コーシー分布の確率密度関数については、コーシー分布の確率密度関数を参照されたい。
確率密度関数の導出
\eqref{eq2}の統計量が\eqref{eq1}の確率密度関数をもつことを証明する。カイ2乗分布の確率密度関数の証明方法と同様に、正規分布に従う確率変数を変数変換することで導出する。
証明 標準正規分布に従う確率変数を\(Z\sim N(0, 1)\)、自由度\(n\)のカイ二乗分布に従う確率変数を\(Y \sim\chi_n^2\)とし、それぞれ互いに独立であるとする。\(Y\)と\(Z\)は独立であるので、\(Y\)と\(Z\)の同時密度関数はそれぞれの確率密度関数の積で表すことができる。故に\(Y\)と\(Z\)の同時密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f_{Y, Z}(y, z) &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{z^2}{2}\right)\cfrac{e^{-\frac{1}{2}y}y^{\frac{1}{2}n-1}}{2^{\frac{1}{2}n}\Gamma(\frac{1}{2}n)}\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)}\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2}n)}y^{\frac{1}{2}n-1}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}(z^2+y)\right\}\end{align}
ここで次の変数変換を考える
\begin{align}t &= \cfrac{z}{\sqrt{y/n}},\\ u &= y.\end{align}
この変換のヤコビアンは次となる。
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(y, z)}{\partial(t,u)}\right|&=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial y}{\partial t}&\cfrac{\partial y}{\partial u}\\\cfrac{\partial z}{\partial t}&\cfrac{\partial z}{\partial u}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}1 & 0\\ \cfrac{t}{2\sqrt{nu}} &\sqrt{\cfrac{u}{n}}\end{vmatrix}\\&=\sqrt{\cfrac{u}{n}}.\end{align}
したがって、\(T\)と\(U\)の同時密度関数は次で表される。
\begin{align}f_{T, U}(t,u) &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)}\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}u^{\frac{1}{2}n-1}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{ut^2}{n}+u\right)\right\}\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(y, z)}{\partial(t,u)}\right|\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)}\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}u^{\frac{1}{2}n}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{ut^2}{n}\right)u\right\}.\end{align}
次に、\(u\)に関して積分することで、\(T\)の周辺密度関数を導出する。\(u\)に関して積分すると
\begin{align}f_T(t) &= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)}\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}u^{\frac{1}{2}n}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{ut^2}{n}\right)u\right\}du\\\label{eq3}&= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)}\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}\int_0^{\infty}u^{\frac{1}{2}n}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{ut^2}{n}\right)u\right\}du\tag{3}\end{align}
を得る。ここで次のガンマ関数を用いる。\(\mathrm{Re}, b>0\)を満たす複素数\(b\)に対し
\begin{align} \label{eq4} \int_0^{\infty}u^{b-1}e^{-au}du = \cfrac{\Gamma(b)}{a^b} \tag{4}\end{align}
が成り立つ。したがって、\eqref{eq4}のガンマ関数を\eqref{eq3}の右辺の積分に適用することで、\eqref{eq3}の\(T\)の確率密度関数は次となる。
\begin{align}&\cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}}\int_0^{\infty}u^{\frac{1}{2}n}\exp\left\{-\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{ut^2}{n}\right)u\right\}du\\&= \cfrac{1}{2^{\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2}n)}}\cfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{(1+t^2/n)^{\frac{n+1}{2}}}\\&= \cfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}},\end{align}
これは\eqref{eq1}の自由度\(n\)のt分布の確率密度関数に一致する。□
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