正規分布の確率密度関数からカイ2乗分布の確率密度関数を導出する。
標準正規分布の2乗の統計量が自由度1のカイ2乗分布に従うことを示していく。
また、一般化として自由度\(n\)のカイ2乗分布の確率密度関数の導出方法も紹介する。
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カイ2二乗分布の確率密度関数
自由度1のカイ2乗分布の確率密度関数
標準正規分布の2乗の統計量が自由度1のカイ2乗分布に従うこと証明する。
証明（変数変換を用いた証明） 標準正規分布に従う確率変数を\(X\sim N(0, 1)\)とする。このとき、正規分布の確率密度関数より、\(X\)の確率密度関数は次で表現される。
\begin{align}\label{eq1}f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{x^2}{2}\right).\tag{1}\end{align}
ここで、\(y=x^2\)の変数変換を行う。\(y=x^2 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{y}\)であり、この変換は1対1対応でないことがわかる。そのため、\(x\geq 0\)であることを仮定し、\(x = \sqrt{y}\)とする。この変換のヤコビアンは
\begin{align}\cfrac{dx}{dy}=\cfrac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\end{align}
となる。また、確率密度関数の対称性から、\(x\geq0\)の密度を2倍にさせることで\(x\)が正負の2通りの密度を一意に変換することが可能となる。したがって変数変換より、次の\(Y=X^2\)の確率密度関数を得る。
\begin{align}g(y) &=\cfrac{2}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{y}{2}\right)\left|\cfrac{dx}{dy}\right|\\&=\cfrac{e^{-\frac{1}{2}y}\cfrac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} \Gamma(\frac{1}{2})}\end{align}
これは\(n=1\)のときの\eqref{eq1}のカイ2二乗分布の確率密度関数であり、標準正規分布の2乗の統計量が自由度1のカイ2乗分布に従うことが示された。□
証明（分布関数を用いた証明） 上の変数変換以外の証明方法として、分布関数を用いた証明も紹介する。上の証明と同様に、\(Y=X^2\)の確率密度関数を導出する。\(X\)の分布関数を\(F(x)\)とする。\(y<0\)に対し
\begin{align}\mathrm{Pr}\{Y<y\} = 0, \end{align}\(y\geq 0\)に対し\begin{align}\mathrm{Pr}\{Y<y\} &= \mathrm{Pr}\{X^2<y\}\\&= \mathrm{Pr}\{|X| <\sqrt{y}\}\\ &= \mathrm{Pr}\{\sqrt{y}<X<\sqrt{y}\}\\&=F(\sqrt{y})-F(\sqrt{-y})\end{align}
ここで、標準正規分布の対称性より、\(x\geq0\)に対して
\begin{align}F(-x) = 1-F(x)\end{align}
が成り立つ。したがって
\begin{align}F(\sqrt{y})-F(\sqrt{-y})&= F(\sqrt{y}) - \bigl\{1-F(\sqrt{y})\bigr\}\\\label{eq2}&=2F(\sqrt{y})-1\tag{2}\end{align}
を得る。確率密度関数は分布関数を微分することで得られるので、\(Y\)の確率密度関数は次のようにして導出される。
\begin{align}\cfrac{d}{dy}\bigl\{2F(\sqrt{y})-1\bigr\} &= 2\cfrac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}f(\sqrt{y})\\&= y^{-\frac{1}{2}}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{y}{2}\right)\\&=\cfrac{e^{\frac{1}{2}y}y^{-\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma(\frac{1}{2})}□\end{align}
自由度2のカイ2乗分布の確率密度関数
次に自由度2のカイ二乗分布の確率密度関数の導出をする。自由度1のカイ2二乗分布に従う確率変数\(X\sim N(0, 1)\)、\(Y\sim N(0,1)\)はそれぞれ独立に分布しているとする。\(U=X^2+Y^2\)の確率密度関数を導出する。次の変数変換を考える。
\begin{align}x= wcos\theta,\\y =w\sin\theta,\end{align}
ここに\(w>0\)、\(-\pi\leq \theta <\pi\)この変換のヤコビアンは
\begin{align}\left|\cfrac{\partial(x,y)}{\partial(w,\theta)}\right| &=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial w} & \cfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\cfrac{\partial y}{\partial w} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\cos\theta & w(-\sin\theta)\\\sin\theta& w\cos\theta\end{vmatrix}\\&= w\cos^2\theta + w\sin^2\theta \\&= w\end{align}
である。また\(X\)と\(Y\)は独立であるので、次のように\(X\)と\(Y\)の同時密度関数は、\(X\)と\(Y\)の確率密度関数の積で表すことができる。
\begin{align}f_{X, Y}(x, y) &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{x^2}{2}\right)\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{y^2}{2}\right)\\&=\cfrac{1}{2\pi}\exp\left(-\cfrac{x^2+y^2}{2}\right).\end{align}
したがって、\(W\)と\(\Theta\)の同時密度関数は次となる。
\begin{align}f_{W, \Theta}(w, \theta) &= \cfrac{1}{2\pi}\exp\left(-\cfrac{w^2}{2}\right)\mathrm{mod}\left|\cfrac{\partial(x,y)}{\partial(w,v\theta)}\right| \\\label{eq3}&= \cfrac{we^{-\frac{1}{2}w^2}}{2\pi}.\tag{3}\end{align}
また、\eqref{eq3}を\(\theta\)の取りうる範囲で積分することで、次の\(U\)の周辺密度関数を得る。
\begin{align}f_W(w) &= \int_{-\pi}^{\pi} \cfrac{we^{-\frac{w^2}{2}}}{2\pi}.d\theta \\&=we^{-\frac{w^2}{2}}.\end{align}
最後に、\(U=X^2+Y^2\)の確率密度関数を得るために、\(U=W^2\)の変換を行う。この変換のヤコビアンは\(dw/du=(1/2)u^{-\frac{1}{2}}\)であるので、\(U=X^2+Y^2\)の確率密度関数は次となる。
\begin{align}f_u(u) &= u^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\left|\cfrac{dw}{du}\right|\\&=u^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{u}{2}}\cfrac{u^{-\frac{1}{2}}}{2}\\\label{eq4}&= \cfrac{1}{2}e^{-\frac{u}{2}}.\tag{4}\end{align}
これは、\(n=2\)のときの\eqref{eq1}の確率密度関数であり、独立な2つの標準正規分布の2乗の和が自由度2のカイ2乗分布に従うことが示された。□
補足として、\eqref{eq4}は指数分布の確率密度関数でもある。自由度2のカイ2乗分布の確率密度関数は指数分布の確率密度関数でもある。
自由度\(n\)のカイ二乗分布の確率密度関数
最後に、これまでの一般化として、自由度\(n\)のカイ2二乗分布の確率密度関数について紹介する。\(X_1, \ldots, X_n;\Pi\sim N(0, 1)\)とし、\(Y=\sum_{i=1}^nX_i^2\)とする。このとき\(Y\)は\eqref{eq1}の確率密度関数をもつ自由度\(n\)のカイ2乗分布に従う。証明については、自由度2のカイ2乗分布の確率密度関数と同様に、\(n\)次元極座標変換を行うことで得られる。詳細な証明は、多変量正規分布の極座標変換を参照されたい。
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