ここでは特性関数を定義し、様々な分布の特性関数を導出していく。
特性関数と確率関数との関係、また、積率（モーメント）との関係も述べる。
離散確率変数の特性関数
ある確率変数に対して、特性関数が存在するとき、その確率変数の確率分布は存在する。確率変数の従う分布を対応付ける関数として特性関数が用いられる。また、積率母関数のように、積率（モーメント）の存在にも関係する。
離散確率変数の特性関数は次で定義される。
定義1 特性関数
確率変数\(X\)のモーメント\(\mu_j\), \(j = 1, 2 , \ldots\)が存在し、確率関数\(\mathrm{Pr}\{X=x_j\}, j =1,\ldots\)は、\eqref{eq1}の級数が収束するような関数とする。このときテイラー展開を用いることで、\(e^{it x_j}\)をべき級数に展開し、項別に和をとる。\(e^{z}\)のべき級数展開は
\begin{align}e^z = 1 + z +\cfrac{z^2}{2!}+\cfrac{z^3}{3!}+\cdots\end{align}
であるから、モーメントの定義と\eqref{eq1}より
\begin{align}\phi(t) &= \sum_{j=1}^{\infty}\left[1+it x_j +\cfrac{(it x_j)^2}{2!}+\cfrac{(it x_j)^3}{3!}+\cdots\right]\mathrm{Pr}\{X=x_j\}\\&=\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{Pr}\{X=x_j\} + it \sum_{j=1}^{\infty}x_j\mathrm{Pr}\{X=x_j\}-\cfrac{t^2}{2!}\sum_{j=1}^{\infty}x_j^2\mathrm{Pr}\{X=x_j\}+\cdots\\\label{eq2}&=1+it\mu_1-\cfrac{t^2}{2!}\mu_2-\cfrac{it^3}{3!}\mu_3+\cdots.\tag{2}\end{align}
である。このように、モーメント\(\mu_j\), \(j = 1, 2 , \ldots\)が存在する場合、特性関数は、\(\mu_j\),\(j=1,2,\ldots\)から成る級数で表現することができる。確率変数\(X\)に積率母関数\(M_X(t)\)が存在する場合、積率母関数は特性関数を用い\begin{align}\phi(-it) = M_X(t)\end{align}で表現することができる。特性関数\(\phi(t)\)は\begin{align}\phi(0)=1\end{align}が常に成り立つ。
また、積率母関数と同様に、次のように\(k\)階微分を考えることによって、\(\mu_k\)を得ることができる。\eqref{eq2}を\(i^k\)で割り、\(t\)で\(k\)階微分して\(t=0\)とすると
\begin{align}\label{eq3}\mu_k =\left. \cfrac{1}{i^k}\cfrac{d^k\phi(t)}{dt^k}\right|_{t=0}\tag{3}\end{align}
を得るので、\(k\)次のモーメントを求めるためには、\(\phi(t)\)を\(i^k\)で割り、その次数と同じ回数だけ微分し、\(t=0\)とおけばよい。
また特性関数に対数をとったものはキュムラント母関数（第2のキュムラント母関数）と呼ばれる。\(g(it) = \log\phi(t)\)とすると
\begin{align}\left.\cfrac{d^0g(it)}{d(it)^0}\right|_{t=0} &= \log1 = 0\end{align}
であり、\(k\)次キュムラント\(\kappa_k\)を
\begin{align}\kappa_k &= \left.\cfrac{d^kg(it)}{d(it)^k}\right|_{t = 0} \end{align}
とすると、\(it\)についての原点周りのテイラー展開より
\begin{align}\log \phi(t) &= \sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\left.\cfrac{d^jg(it)}{d(it)^j}\right|_{t=0}\\&=\sum_{j=1}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\left.\cfrac{d^jg(it)}{d(it)^j}\right|_{t=0}\\&=\sum_{j=1}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\kappa_j\end{align}
である。したがって、キュムラント母関数は次で定義される。
\begin{align}\log \phi(t) &=\sum_{j=1}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\kappa_j\end{align}
離散分布の特性関数
ベルヌーイ分布
確率変数\(X\)がベルヌーイ分布に従うとき、\(0\leq p\leq 1\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\mathrm{Pt}\{X=1\} = p,\\ \mathrm{Pr}\{X=0\}=1-p. \end{align}
ベルヌーイ分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。離散確率変数の特性関数の定義より、\(X\)の特性関数は
\begin{align}\phi(t) &=e^{it \cdot1}p+e^{it\cdot0}(1-p)\\&=1-p+pe^{it}\end{align}
また\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &= \left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d\phi(t)}{dt} \right|_{t=0}\\&= \left.\cfrac{1}{i}ipe^{it}\right|_{t=0}\\&=p\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2 &= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2} \right|_{t=0}\\&= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dt}ipe^{it}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}i^2pe^{it}\right|_{t=0}\\&= pe^{it}|_{t=0}\\&=p\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1 = p\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=p-p^2\\&=p(1-p)\end{align}
である。
2項分布
確率変数\(X\)が2項分布に従うとき、\(0\leq p\leq 1\)、\(n\in\{0, 1, 2, \ldots\}\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\label{eq4}\mathrm{Pr}\{X=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}, k = 0, 1, 2, \ldots, n.\tag{4}\end{align}
2項分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \sum_{k=0}^ne^{it k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\\\label{eq5}&=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(pe^{it})^k(1-p)^{n-k}\tag{5}\end{align}
となり、ここで次の二項定理を用いる。
\begin{align}(x+y)^n = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} x^ky^{n-k}.\end{align}
よって、\eqref{eq5}は
\begin{align}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(pe^{it})^k(1-p)^{n-k}&=\bigl\{pe^{it}+(1-p)/bigr\}^n\\&=(1-p+pe^{it})^n\end{align}
となる。したがって次の2項分布に従う確率変数\(X\)の特性関数\phi(t)が得られた。
\begin{align}\label{eq6}\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n.\tag{6}\end{align}
また、確率変数\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &= \left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d\phi(t)}{dt} \right|_{t=0}\\&= \left.\cfrac{1}{i}inpe^{it}(1-p+pe^{it})^{n-1}\right|_{t=0}\\&=np\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2 &= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2\phi(t)}{dit^2}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dit}inpe^{it}(1-p+pe^{it})^{n-1}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\bigl\{i^2npe^{it}(1-p+pe^{it})^{n-1}+i^2n(n-1)p^2e^{2it}(1-p+pe^{it})^{n-2}\bigr\}\right|_{t=0}\\&=npe^{it}(1-p+pe^{it})^{n-2}\{1-p+pe^{it}+(n-1)pe^{it}\}|_{t=0}\\&=npe^{it}(1-p+pe^{it})^{n-2}(1-p+npe^{it})|_{t=0}\\&=np(1-p+np)\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1= np,\\\mathrm{Var}[X] &=\mu_2-\mu_1^2 \\&=np(1-p+np)-(np)^2\\&=np(1-p)\end{align}
である。
負の2項分布
確率変数\(X\)が負の2項分布に従うとき、\(0\leq p\leq1\)、\(r\in\{1,2,\ldots\}\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\}=\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}(1-p)^rp^k.\end{align}
2項分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t)&=\sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}(1-p)^rp^k\end{align}
で表され、ここで二項係数が
\begin{align}\begin{pmatrix}x+r-1\\x\end{pmatrix}&=\cfrac{(x+r-1)(x+r-2)\cdots r}{x!}\notag\\
&=(-1)^x\cfrac{(-r-x+1)(-r-x+2)\cdots(-r)}{x!}\notag\\
&=(-1)^x\cfrac{(-r)(-r-1)\cdots(-r-x+1)}{x!}\notag\\
&=(-1)^x\begin{pmatrix}-r\\x\end{pmatrix}\notag.
\end{align}
で表されることから、次の特性関数を得る。
\begin{align}&\sum_{k=0}^{\infty}e^{it k}\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}(1-p)^rp^k\\&=\sum_{k=0}^{\infty}e^{it k}(-1)^k\begin{pmatrix}-r\\k\end{pmatrix} p^r(1-p)^k\\&=p^r\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix}-r\\k\end{pmatrix}(-1)^ke^{it k}(1-p)^k\\&=p^r\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix}-r\\k\end{pmatrix}\bigl\{-(1-p)e^{it}\bigr\}^k1^{-r-k}\\&=p^r\bigl\{-(1-p)e^{it}+1\bigr\}^{-k}\\&=\left(\cfrac{p}{1-(1-p)e^{it}}\right)^r.\end{align}
また、確率変数\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &= \left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d\phi(t)}{dt} \right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d}{dt}\left(\cfrac{p}{1-(1-p)e^{it}}\right)^r\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\cfrac{ ir(1-p)p^re^{it}}{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^{r+1}}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{r(1-p)}{p}\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2 &= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dt}\cfrac{ ir(1-p)p^re^{it}}{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^{r+1}}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{i^2r(1-p)p^re^{it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^{r+1}+i^2r(r+1)(1-p)^2p^re^{2it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^r}{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^{2(r+1)}}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{r(1-p)(r-rp+1)}{p^2}\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 =\cfrac{r(1-p)}{p} ,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{r(1-p)(r-rp+1)-r^2(1-p)^2}{p^2}\\&=\cfrac{r(1-p)}{p^2}\end{align}
である。
ポアソン分布
確率変数\(X\)がポアソン分布に従うとき、\(\lambda > 0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\} = \cfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \ \ \ \ k=0, 1, 2, \ldots\end{align}
ポアソン分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \sum_{k=0}^{\infty}e^{it k}\cfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\\&=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(\lambda e^{it})^k}{k!}\\&=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}}\\&=e^{\lambda(e^{it}-1)}\end{align}
となる。
また、確率変数\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &= \left.\cfrac{d\phi(t)}{dt} \right|_{t=0}\\&= \left.\cfrac{1}{i}i\lambda e^{it}e^{\lambda(e^{it}-1)}\right|_{t=0}\\&=\lambda\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2 &= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dt}i\lambda e^{\lambda(e^{it}-1)+it}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}i^2(\lambda e^{it}+1)\lambda e^{\lambda(e^{it}-1)+it}\right|_{t=0}\\&=\lambda(\lambda+1) \end{align}である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \lambda,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\lambda(\lambda+1)-\lambda^2\\&=\lambda\end{align}
である。
幾何分布
確率変数\(X\)が幾何分布に従うとき、\(0\leq p\leq1\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p, \ \ \ \ k=1,2, \ldots\end{align}
幾何分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t)&=\sum_{k=1}^{\infty}e^{it k}(1-p)^{k-1}p\\&=pe^{it}\sum_{k=1}^{\infty}\bigl\{(1-p)e^{it}\bigr\}^{k-1}\\\label{eq7}&=pe^{it}\sum_{k=0}^{\infty}\bigl\{(1-p)e^{it}\bigr\}^{k}\tag{7}\end{align}
となる。ここで\eqref{eq7}の無限等比級数を導出するために、\(|(1-p)e^{it}|<1\)の場合、すなわち\(e^{it}>0\)、\((1-p)>0\)より\(e^{it}<1/(1-p)\)の場合を考える。両辺に対数をとることで、\(t<-\log(1-p)\)を得る。したがって\(t<-log(1-p)\)に対して、\eqref{eq7}の和は初項\(1\)、公比\((1-p)e^{it}\)の無限等比級数である。故に、\eqref{eq7}の特性関数は次となる。
\begin{align}pe^{it}\sum_{k=0}^{\infty}\bigl\{(1-p)e^{it}\bigr\}^{k}&=\cfrac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}\end{align}
また、確率変数\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &= \left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d\phi(t)}{dt} \right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i} \cfrac{ipe^{it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}+ipe^{it}(1-p)e^{it}}{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{p^2+(1-p)p}{p^2}\\&=\cfrac{1}{p}\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2 &= \left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dt} \cfrac{ipe^{it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}+ipe^{it}(1-p)e^{it}}{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^2}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{pe^{it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^2+2(1-p)pe^{2it}\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\} }{\bigl\{1-(1-p)e^{it}\bigr\}^4}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{2-p}{p^2}\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \cfrac{1}{p}\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{2-p}{p^2}-\cfrac{1}{p^2}\\&=\cfrac{1-p}{p^2}\end{align}
である。
超幾何分布
確率変数\(X\)が超幾何分布に従うとき、\(N\in\{0, 1, 2, \ldots\}\)、\(K\in\{0, 1, 2, \ldots, N\}\)、\(n\in\{0, 1, 2, \ldots, N\}\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}\mathrm{Pr}\{X=k\} = \cfrac{\begin{pmatrix}K\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-K\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}, \ \ \ \ \max(0,n+K-N)\leq k \leq\min(K,n)\end{align}
超幾何分布に従う確率変数\(X\)の特性関数を導出する。特性関数を求めるうえで次のgeneralized hypergeometric functionを導入する。
\begin{align}F\left[\begin{array}a_1, a_2,\ldots, a_r\\b_1,b_2,\ldots b_s\end{array};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(a_1)^{(n)}(a_2)^{(n)}\cdots(a_r)^{(n)}}{(b_1)^{(n)}(b_2)^{(n)}\cdots(b_s)^{(n)}n!}z^n.\end{align}
ただし
\begin{align}(y)^{(0)} &= 1\\(y)^{(n)} &= \prod_{k=0}^{n-1}(y+k)=\cfrac{(y+n-1)!}{(y-1)!}\end{align}
は昇べきのポッホハマー記号である。また、降べきのポッホハマー記号\((y)_{(n)}\)を
\begin{align}(y)_{(n)}=\cfrac{y!}{(y-n)!}\end{align}
とし、
\begin{align}\begin{pmatrix}y\\n\end{pmatrix}=\cfrac{(y)_{(n)}}{n!}\end{align}
が成り立つことから、\(X\)の特性関数は
\begin{align}\phi(t) &= \sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{\begin{pmatrix}K\\k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-K\\n-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}e^{it k}\\&=\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(K)_{(k)}}{k!}\cfrac{(N-K)_{(n-k)}}{(n-k)!}\cfrac{n!}{(N)_{(n)}}e^{it k}\end{align}
である。ここで
\begin{align}\cfrac{(N-K)_{(n)}}{(N-K-n+1)^{(k)}}&=\cfrac{(N-K)!/(N-K-n)!}{(N-K-n+k)!/(N-K-n)!}\\&=\cfrac{(N-K)!}{(N-K-n+k)!}\\&=(N-K)_{(n-k)}\end{align}
であることより、
\begin{align}&\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(K)_{(k)}}{k!}\cfrac{(N-K)_{(n-k)}}{(n-k)!}\cfrac{n!}{(N)_{(n)}}e^{it k}\\&=\cfrac{}{(N)_{(k)}}\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(K)_{(k)}}{k!}\cfrac{(N-K)_{(n)}}{(N-K-n+1)^{(k)} }\cfrac{n!}{(n-k)!}e^{it k}\\\label{eq8}&=\cfrac{(N-K)_{(n)}}{(N)_{(n)}}\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(K)_{(k)}(n)_{(k)}}{(N-K-n+1)^{(k)}k!}e^{it k}\tag{8}\end{align}
となる。ここに、\((y)^{(n)}\)は次の昇べきのポッホハマー記号である。
\begin{align}(y)^{(n)}=\cfrac{(y+n-1)!}{(y-1)!}.\end{align}
昇べきのポッホハマー記号に対して
\begin{align}(-y)^{(n)}=(-1)^n(y-n+1)^{(n)}\end{align}
が成り立つ。よって
\begin{align}(-K)^{(k)}(-n)^{(k)}&=(-1)^{2k}(K-k+1)^{(k)}(n-k+1)^{(k)}\\&=\cfrac{K!}{(K-k)!}\cfrac{n!}{(n-k)!}\\&=(K)_{(k)}(n)_{(k)}\end{align}
である。故に\eqref{eq8}は
\begin{align}& \cfrac{(N-K)_{(n)}}{(N)_{(n)}}\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(K)_{(k)}(n)_{(k)}}{(N-K-n+1)^{(k)}k!}e^{it k}\\&=\cfrac{(N-K)_{(n)}}{(N)_{(n)}}\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{(-K)^{(k)}(-n)^{(k)}}{(N-K-n+1)^{(k)}k!}e^{it k}\\&=\cfrac{\begin{pmatrix}N-K\\n\end{pmatrix}\ _2F_1(-n, -K; N-K-n+1; e^{it})}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}\end{align}
となる。
