多変量のLévyの反転公式の証明

この記事では、多変量のLévyの反転公式の証明をしていく。

多変量のLévyの反転公式

まず多変量のLévyの反転公式の証明の前提として、次の補題を用いる。

補題1　三角関数の不等式

次の積分が成り立つ。\begin{align}\int_0^{\infty}\cfrac{\sin \alpha x}{x}dx = \cfrac{\pi}{2}\mathrm{sgn}\alpha,\end{align}
ここに関数\(\mathrm{sgn}\)は\(\alpha\)についての次の符号関数である。
\begin{align}\mathrm{sgn}\alpha = \left\{\begin{array},1, & (\alpha >0), \\0, & (\alpha=0),\\-1&, (\alpha<0)\end{array}\right. .\end{align}

定理1　多変量のLévyの反転公式

確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)が密度関数\(f(\boldsymbol{x})\)、特性関数\(\phi(\boldsymbol{t})\)をもつとき、\(a\in \{a_1,\ldots, a_p\}\)、\(b\in\{b_1, \ldots, b_p\}\)、\(t\in\{t_1,\ldots, t_p\}\)、\(T\in\{T_1,\ldots, T_p\}\)に対して、次がいえる。
\begin{align}&\mu_{\boldsymbol{X}}\bigl(\{a<x<b\}\bigr)\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_p\to\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\left(\cfrac{e^{-it_ja_j}-e^{-it_jb_j}}{it_j}\right)\phi(\boldsymbol{t})\lambda(d\boldsymbol{t}),\end{align}
ここに\(\lambda\)はルベーグ測度とする。

証明　反転公式の右辺について、極限をとらないときFubiniの定理を用いることで次が得られる。

\begin{align}&\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\left(\cfrac{e^{-it_ja_j}-e^{-it_jb_j}}{it_j}\right)\phi(\boldsymbol{t})\lambda(d\boldsymbol{t})\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p(e^{it_j(x_j-s_j)})dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\lambda(d\boldsymbol{t})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j) -i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\lambda(d\boldsymbol{t})\right\}d\boldsymbol{s}.\end{align}

ここで\(\cos t_j(x_j-s_j)-i\sin t_j(x_j-s_j)\)の\(t_j\)についての積分は

\begin{align}&\int_{-T_j}^{T_j}\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j)-i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}dt_j\\&=\left[\cfrac{\sin t_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j}+i\cos t_j(x_j-s_j)\right]_{-T_j}^{T_j}\\&=\cfrac{1}{x_j-s_j}\bigl\{\sin T_j(x_j-s_j)-\sin(-T_j)(x_j-s_j)\bigr\}\\&\ \ \ \ +\bigl\{i\cos T_j(x_j-s_j)-i\cos(-T_j)(x_j-s_j)\bigr\}\\&=\cfrac{1}{x_j-s_j}\bigl\{2\sin T_j(x_j-s_j)\bigr\}+0\\&=\cfrac{2\sin T_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j}\end{align}

となる。したがって

\begin{align}&\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\{-T\leq t\leq T\}}\prod_{j=1}^p\bigl\{\cos t_j(x_j-s_j) -i\sin t_j(x_j-s_j)\bigr\}\lambda(d\boldsymbol{t})dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{(2\pi)^p}\int_{a}^b\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{2\sin T_j(x_j-s_j)}{x_j-s_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{s}\\&=\cfrac{1}{\pi^p}\int_{-T(x-a)}^{T(x-b)}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{\sin u_j}{u_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{u}.\end{align}

ここで、\(T_j\to\infty, j=1,\ldots, p\)のとき補題1より

\begin{align}\int_{-T_j(x_j-a_j)}^{T_j(x_j-b_j)}\cfrac{\sin u_j}{u_j} d\boldsymbol{u}=\left\{\begin{array} ,0, & (x_j<a_j),\\ \cfrac{\pi}{2},& (x_j=a_j),\\ \pi, &(a_j <x_j<b_j),\\ \cfrac{\pi}{2},& (x_j=b_j), \\0,&(x_j>b_j).\end{array}\right.\end{align}

が成り立つ。故に

\begin{align}&\cfrac{1}{\pi^p}\int_{-T(x-a)}^{T(x-b)}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{j=1}^p\cfrac{\sin u_j}{u_j} dF_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})\right\}d\boldsymbol{u}\\&=\prod_{j=1}^p\left[\tfrac{1}{2}\cdot\mathrm{Pr}\{x_j=a_j\}\bigcup \mathrm{Pr}\{x_j=b_j\}+1\cdot\mathrm{Pr}\{a_j<x_j<b_j\}\right]\\&=\mu_{\boldsymbol{X}}\bigl(\{a<x<b\}\bigr).□\end{align}