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【統計学】コーシー分布の確率密度関数

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【統計学】コーシー分布の確率密度関数

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コーシー分布の確率密度関数を紹介し、標準正規分布の確率密度関数から導出する。

コーシー分布は自由度1のt分布でもある。t分布の確率密度関数の導出方法については、t分布の確率密度関数を参照されたい。

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コーシー分布の確率密度関数

確率密度関数

確率変数\(X\)が次の確率密度関数をもつとき、\(X\)は、位置パラメータ\(x_0\)、尺度パラメータ\(\gamma\)のコージー分布に従うという。\begin{align}\label{eq1}f(x) =\cfrac{1}{\pi\gamma}\left[\cfrac{\gamma^2}{(x-x_0)^2+\gamma^2}\right],\ \ -\infty< x<\infty, \tag{1}\end{align}ここに\(x_0\)、\(\gamma >0\)は実数である。

この確率密度関数は標準化されていない自由度1のt分布の確率密度関数でもある。すなわち、自由度1のt分布に従う確率変数を\(T\sim t_1\)とすると、上の確率密度関数を持つ統計量は次で表現される。

\begin{align}X = x_0+\gamma T\end{align}

この証明についてはこの記事の確率密度関数の導出で行う。

特殊な場合

特殊な場合として、\eqref{eq1}の位置パラメータが\(x_0\)が\(0\)であり、尺度パラメータ\(\gamma\)が\(1\)であるとき、\eqref{eq1}の確率密度関数は次となる。

\begin{align}\label{eq2}f(x) = \cfrac{1}{\pi(1+x^2)}.\tag{2}\end{align}

また、正規分布との関係として、標準正規分布に従う独立な確率変数を\(U, V; \Pi ,\sim N(0,1)\)とすると、次の統計量は\eqref{eq2}の確率密度関数をもつ。

\begin{align}X=\cfrac{U}{V}.\end{align}

\eqref{eq2}の確率密度関数は自由度1のt分布の確率密度関数でもある。t分布の確率密度関数については、t分布の確率密度関数を参照されたい。

確率密度関数の導出

標準コーシー分布の確率密度関数

標準正規分布に従う独立な確率変数を\(U, V; \Pi ,\sim N(0,1)\)とする。このとき、\(X=U/V\)は標準コーシー分布に従うことを示す。\(U\)と\(V\)は独立に分布しているので、\(U\)と\(V\)の同時密度関数は次の2つの標準正規分布の確率密度関数の積となる。

\begin{align}f_{U, V}(u,v) &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{u^2}{2}\right) \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{v^2}{2}\right)\\\label{eq3}&=\cfrac{1}{2\pi}\exp\left(-\cfrac{u^2+v^2}{2}\right).\tag{3}\end{align}

ここで、次の変数変換を考える。

\begin{align}X&= \cfrac{U}{V},\\Y&=V.\end{align}

この変換のヤコビアンは

\begin{align}\left|\cfrac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\right| &= \begin{vmatrix}\cfrac{\partial u}{\partial x} & \cfrac{\partial u}{\partial y}\\\cfrac{\partial v}{\partial x} & \cfrac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix}y & x\\0 & 1\end{vmatrix}\\&= y  \end{align}

である。したがって、\eqref{eq3}の同時密度関数を変換することで、\(X\)と\(Y\)の同時密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f_{X, Y}(x,y) &=\cfrac{1}{2\pi}\exp\left(-\cfrac{(xy)^2+y^2}{2}\right) \mathrm{mod} \left|\cfrac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\right| \\&=\cfrac{1}{2\pi}|y| \exp\left(-\cfrac{1+x^2}{2}y^2\right)\end{align}

次に、\(y\)の取りうる範囲で積分することで、\(X=U/V\)の周辺密度関数を求める。\(X\)と\(Y\)の同時密度関数を\(y\)で積分すると

\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{2\pi} |y| \exp\left(-\cfrac{1+x^2}{2}y^2\right)dy\\ &=\cfrac{2}{2\pi}\int_{0}^{\infty} y \exp\left(-\cfrac{1+x^2}{2}y^2\right)dy\\\label{eq4}&=\cfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} y \exp\left(-\cfrac{1+x^2}{2}y^2\right)dy \tag{4}\end{align}

が得られる。ここで次の変換を行う。

\begin{align}w =(1+x^2)y^2.\end{align}
\(dw/dy = 2y(1+x^2)\Leftrightarrow dy/dw = 1/\{2y(1+x^2)\}\)

より、\eqref{eq4}の右辺は次となる

\begin{align}&\cfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}y\exp\left(-\cfrac{1+x^2}{2}y^2\right)dy \\&=\cfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}y(w) \exp\left(-\cfrac{w}{2}\right)\cfrac{1}{2y(w) (1+x^2)}dw\\&=\cfrac{1}{2\pi(1+x^2)}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\cfrac{w}{2}\right)dw\\&=\cfrac{1}{2\pi(1+x^2)}\cfrac{\Gamma(1)}{(1/2)}\\&=\cfrac{1}{\pi(1+x^2)}.\end{align}

これは\eqref{eq2}の標準コーシー分布の確率密度関数である。\(X=U/V\)が標準コーシー分布に従うことが示された。□

コーシー分布の確率密度関数

標準コーシー分布の確率密度関数で、\eqref{eq2}の確率密度関数が得られたので、標準コーシー分布に従う確率変数を\(Y\)とすると、\(X=\gamma Y+ x_0\)は\eqref{eq1}の確率密度関数をもつことが容易にわかる。実際に、標準コーシー分布に従う確率変数を\(Y\)とし、\(x=\gamma y +x_0\)の変数変換を行うと、この変換のヤコビアンは\(dy/dx = \gamma^{-1}\)であるので、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f_X(x) &= \cfrac{1}{\pi(1+\bigl\{(x-x_0)/\gamma\bigr\}^2)}\left|\cfrac{dy}{dx}\right|\\&=\cfrac{1}{\pi\gamma}\cfrac{\gamma^2}{\gamma^2+(x-x_0)^2}.\end{align}

これは\eqref{eq1}のコーシー分布の確率密度関数であり、正規分布に従う確率変数からコーシー分布に従う確率変数を構成できることが示せた。またコーシー分布は、標準化されていない自由度1のt分布に一致することも示せた。□

性質　コーシー分布の逆数の分布

また、コーシー分布の性質として、標準コーシー分布にしたがう確率変数の逆数もまた、標準コーシー分布に従う。すなわち、標準コーシー分布に従う確率変数を\(X\)とすると、次の統計量も標準コーシー分布に従う。\begin{align}Y= \cfrac{1}{X}\end{align}

証明　標準コーシー分布に従う確率変数を\(X\)とする。\(y=1/x\)の変換を考える。この変換のヤコビアンは\(dx/dy = -y^{-2}\)であるので、\(Y\)の確率密度関数は次で与えられる。

\begin{align}f_Y(y) &= \cfrac{1}{\pi(1+1/y^2)}\left|\cfrac{dx}{dy}\right|\\ &= \cfrac{1}{\pi(1+y^2)}\end{align}

したがって、\(Y=1/X\)も標準コーシー分に従う。□

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usagi-san

統計学とゲームとかをメインに解説していくよ。 数式とかプログラミングコードにミスがあったり質問があったりする場合はコメントで受け付けます。すぐに対応します。

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