ここでは特性関数を定義し、様々な分布の特性関数を導出していく。
特性関数と積率（モーメント）との関係も述べる。
離散分布の特性関数については、離散分布の特性関数を参照されたい。
連続確率変数の特性関数
連続確率変数に対する特性関数は、離散分布の特性関数の(1)式と同様に次のように定義される。
定義1 特性関数
確率変数\(X\)のモーメント\(\mu_j<\infty, j=1,2, \ldots\)が存在し、\(f(x)\)を\eqref{eq1}の積分が有限であることを仮定すると、\(e^{it x}\)をべき級数に展開し項別に積分を行えば、\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}\left[1+it x-\cfrac{t^2 x^2}{2!}-\cfrac{it^3x^3}{3!}+\cdots\right]f(x)dx\\\label{eq2}&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx +it\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx-t^2\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx+\cdots \\&=1+it\mu_1-\cfrac{t^2}{2!}\mu_2-i\cfrac{t^3}{3!}\mu_3+\cdots.\tag{2}\end{align}
となり、離散分布の特性関数の(2)式と同じ形となることがわかる。特性関数\(\phi(t)\)は\begin{align}\phi(0)=1\end{align}が常に成り立つ。また、連続確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)の特性関数は、\(e^{it x}\)を\(e^{it g(x)}\)で置き換えることで定義される。
定義2 連続確率変数の特性関数の一般化
この定義から、連続確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)のモーメントを特性関数を用いて計算することが可能である。
次に、連続確率変数の特性関数の定義から特性関数の重要な性質を述べる。\(c\)を任意の定数、\(h(X)\)は確率変数\(X\)の関数であり、その特性関数は存在することを仮定する。このとき、\eqref{eq3}の関数\(g(X)\)を\(g(X)=ch(X)\)とおくことで、
\begin{align}\phi_{g(X)}(t) &= \phi_{ch(X)}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{it ch(x)}f(x)dx = \phi_{h(X)}(ct)\end{align}
を得る。また\(g(X) = h(X)+c\)とすると
\begin{align}\phi_{g(X)}(t) &= M_{h(X)+c}(t)\\&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{it\bigl\{h(x)+c\bigr\}}f(x)dx\\&= e^{it c}\int_{-\infty}^{\infty}e^{it h(x)}f(x)dx\\&=e^{it c}\phi_{h(X)}(t)\end{align}
を得る。ここで、\eqref{eq3}の定義と同様の記号に揃えるために、\(h(X)\)を\(g(X)\)とすると次の補題を得る。
補題1 特性関数の性質
\eqref{eq4}は、任意の定数\(c\)と確率変数\(X\)の関数\(g(X)\)との積と和の特性関数はいずれも\(g(X)\)の特性関数で表現できることを意味する。
特に、定数\(a\)と\(b\)に対して、確率変数\(Y\)が\(Y=(X-a)/b\)で与えられているとき、\(Y\)の特性関数\(\psi(t)\)は
\begin{align}\psi(t) &=\mathrm{E}[e^{itY}]\\&=\mathrm{E}[e^{it\frac{x-a}{b}}]\\&=e^{-it\frac{a}{b}}\mathrm{E}[e^{i\frac{t}{b}x}]\\&=e^{-it\frac{a}{b}}\phi(\tfrac{t}{b})\end{align}
で表現される。したがって、\(\mathrm{E}[Y] =\mu\)、\(\mathrm{Var}[X]=\sigma^2\)であるとき\(a = \mu\)、\(b=\sigma\)とおくと、\(Y\)は\(X\)を標準化した確率変数となり、\(Y\)の特性関数は次のように\(X\)の特性関数で表現される。
\begin{align}\psi(t) &= e^{-it\frac{\mu}{\sigma}}\phi(\tfrac{t}{\sigma})\end{align}
確率変数\(X_1,\ldots,X_n\)はそれぞれ互いに独立であり、特性関数\(\phi_{X_1},\ldots, \phi_{X_n}\)をもつとする。このとき多変量正規分布の特性関数の補題2より、\(Y=\sum_{j=1}^nX_j\)の特性関数は
\begin{align}\psi(t) &= \mathrm{E}[e^{itY}]\\&=\mathrm{E}[e^{it\sum_{j=1}^nX_j}]\\&=\prod_{j=1}^n\mathrm{E}[e^{itX_j}]\\&=\phi_{X_1}(t)\cdots\phi_{X_n}(t)\end{align}
となる。
補題2 独立な確率変数の和の特性関数
また、確立密度関数との関係について触れる。次の反転公式により、特性関数の対応する確率密度関数を得ることができる。
\begin{align}f(x) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx} \phi(t)dt.\end{align}これは次のLévyの反転公式により導出される。\begin{align}F(b)-F(a) &= \cfrac{1}{2\pi}\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^T\cfrac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}\phi(t)dt.\end{align}
連続分布の特性関数
連続一様分布
確率変数\(X\)が連続一様分布に従うとき、\(a<b\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b,\\0, & otherwise\end{array}\right.\end{align}
連続一様分布に従う確率変数の特性関数を導出する。連続確率変数の特性関数の定義より、\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \int_{a}^b e^{it x}\cfrac{1}{b-1}dx\\&= \cfrac{1}{b-a}\left[\cfrac{e^{it x}}{it}\right]_a^b\\&=\cfrac{e^{it b}-e^{it a}}{it(b-a)}\end{align}
である。特性関数からモーメントを導出するために、\(e^{it a}\)と\(e^{it b}\)をテイラー展開により次のように表現する。
\begin{align}e^{it a} &= \sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it a)^j}{j!} ,\\e^{it b}&= \sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it b)^j}{j!}.\end{align}
これを用いると、\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1 &=\left. \cfrac{1}{i}\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{d}{dt} \cfrac{e^{it b}-e^{it a}}{it(b-a)}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d}{dt} \cfrac{\sum_{j=0}^{\infty}(it b)^j/j!- \sum_{j=0}^{\infty}(it a)^j/j!}{it(b-a)}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d}{dt} \cfrac{\sum_{j=0}^{\infty}(b^j-a^j)(it)^j/j!}{it(b-a)}\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\cfrac{d}{dt}\left[1+\cfrac{b^2-a^2}{2!(b-a)}it+\cfrac{b^3-a^3}{3!(b-a)}(it)^2+\cdots\right]\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i}\left[i\cfrac{b^2-a^2}{2!(b-a)}+2i^2\cfrac{b^3-a^3}{3!(b-a)}t+\cdots\right]\right|_{t=0}\\&=\cfrac{a+b}{2}\end{align}
であり2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d^2}{dt^2}\phi(t)\right|_{t=0}\\&=\left.\cfrac{1}{i^2}\cfrac{d}{dt}\left[i\cfrac{b^2-a^2}{2!(b-a)}+2i^2\cfrac{b^3-a^3}{3!(b-a)}t+\cdots\right]\right|_{t=0}\\&=\left. \cfrac{1}{i^2}\left[2i^2\cfrac{b^3-a^3}{3!(b-a)}+6i^3\cfrac{b^4-a^4}{4!(b-a)}t+\cdots\right]\right|_{t=0}\\&=\cfrac{a^2+ab+b^2}{3}\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\cfrac{a+b}{2},\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{a^2+ab+b^2}{3}-\cfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\&=\cfrac{(a-b)^2}{12}\end{align}
である。
正規分布
確率変数\(X\)が正規分布に従うとき、実数\(\mu\)、\(\sigma^2>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}, \ \ -\infty<x<\infty .\end{align}
正規分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)を求めるために補題1を利用する。\(g(X)=X-\mu\)の特性関数は次で与えられる。
\begin{align}\phi_{g(X)}(t) &= \phi_{X-\mu}(t)\\\label{eq5}&=e^{-i\mu t}\phi(t)\tag{5}\end{align}
したがって\(X-\mu\)の特性関数を求めることで、\(X\)の特性関数を求めることができる。\(X-\mu\)の特性関数は
\begin{align}\phi_{X-\mu}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{it(x-\mu)}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}dx\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\cfrac{(x-\mu)^2-2i\sigma^2t(x-\mu)}{2\sigma^2}\right\}dx\\&=e^{-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^2}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\cfrac{\bigl\{x-(\mu+i\sigma^2t)\bigr\}^2}{2\sigma^2}\right]dx\\\label{eq6}&=e^{-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^2}\tag{6}\end{align}
となる。\eqref{eq5}の右辺は、3行目の被積分関数が平均\(\mu+\sigma^2t\)、分散\(\sigma^2\)の正規分布であり、\(-\infty < x< \infty\)の範囲で積分をすると\(1\)となることからいえる。よって、\eqref{eq6}を\eqref{eq5}に代入することで、\(X\)の特性関数は次となる。
\begin{align}\phi(t)&=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}.\end{align}また\(X\)の1次モーメントは\begin{align}\mu_1&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left. (i\mu-\sigma^{2}t)e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\right|_{t=0}\\&=\mu\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d}{t}(i\mu-\sigma^{2}t)e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left. (-\sigma^{2})e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}+(i\mu-\sigma^{2}t)^2e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^2}\right|_{t=0}\\&=\sigma^{2}+\mu^2\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\mu,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\sigma^2+\mu^2-\mu^2\\&=\sigma^2\end{align}
である。
ガンマ分布
確率変数\(X\)がガンマ分布に従うとき、実数\(k > 0\)、\(\theta>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}, & x\geq 0, \\0,&x <0.\end{array}\right.\end{align}
ガンマ分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \int_{0}^{\infty} e^{itx}\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\\\label{eq7}&= \cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\int_{0}^{\infty} x^{k-1}e^{-\left(\frac{1}{\theta}-it\right)x}dx\tag{7}\end{align}
となり、ここでガンマ関数に変数変換を行うことで、\(\mathrm{Re}, b>0\)を満たす複素数\(b\)に対し
\begin{align} \label{eq8}\int_0^{\infty}u^{b-1}e^{-au}du = \cfrac{\Gamma(b)}{a^{b}}\tag{8}\end{align}
という関係が成り立つことより、\eqref{eq7}は次で表される。
\begin{align}\cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\int_{0}^{\infty} x^{k-1}e^{-\left(\frac{1}{\theta}-it\right)x}dx&= \cfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}\cfrac{\Gamma(k)}{(1/\theta-it)^k}\\&=(1-i\theta t)^{-k}.\end{align}
また、\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}(1-i\theta t)^{-k}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.i\theta k(1-i\theta t)^{-k-1}\right|_{t=0}\\&=\theta k\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d}{dt}i\theta k(1-i\theta t)^{-k-1}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.i^2\theta^2 k(k+1)(1-\theta t)^{-k-2}\right|_{t=0}\\&=\theta^2 k(k+1)\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \theta k,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=\theta^2 k(k+1) - (\theta k)^2\\&=\theta^2 k\end{align}
である。
指数分布
確率変数\(X\)がガンマ分布に従うとき、\(\lambda>0\)に対して、\(X\)の確率関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x}, & x\geq 0,\\0,&x <0.\end{array}\right.\end{align}
指数分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t)&=\int_0^{\infty}e^{itx}\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\lambda\int_0^{\infty}e^{-(\lambda -it)x}dx\\&=\left[-(\lambda-it)^{-1} e^{-(\lambda-it)x}\right]_0^{\infty}\\&=(1-it/\lambda)^{-1}\end{align}
である。また、\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}(1-it/\lambda)^{-1}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.i\lambda^{-1}(1-it/\lambda)^{-2}\right|_{t=0}\\&=\lambda^{-1}\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}i\lambda^{-1}(1-it/\lambda)^{-2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.2i^2\lambda^{-2}(1-it/\lambda)^{-3}\right|_{t=0}\\&=2\lambda^{-2}\end{align}
である。故に\(X\)の期待値と分散は
\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=\lambda^{-1},\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=2\lambda^{-2}-(\lambda^{-1})^2\\&=\lambda^{-2}\end{align}
である。
カイ2乗分布
確率変数\(X\)がカイ2乗分布に従うとき、\(k\in\{1,2,\ldots\}\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x) = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})},& x\geq 0,\\0,&x<0.\end{array}\right.\end{align}
カイ2乗分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は、\eqref{eq8}を用いることで
\begin{align}\phi(t) &= \int_{0}^{\infty}e^{itx}\cfrac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}dx\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}(1-2it)x}\\&=\cfrac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}\cfrac{\Gamma(\frac{k}{2})}{\bigl\{(1-2it)/2\bigr\}^{\frac{k}{2}}}\\&=(1-2it)^{-\frac{k}{2}}\end{align}
となる。また、\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}(1-2it)^{-\frac{k}{2}}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left. ik(1-2it)^{-\frac{k}{2}-1}\right|_{t=0}\\&=k\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d}{dt}ik(1-2it)^{-\frac{k}{2}-1}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left. i^2k(k+2)(1-2it)^{-\frac{k}{2}-2}\right|_{t=0}\\&=k(k+2)\end{align}
である。故に、\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X]&=\mu_1=k,\\\mathrm{Var}[X]&=\mu_2-\mu_1^2\\&=k(k+2)-k^2\\&=2k\end{align}
である。
ベータ分布
確率変数\(X\)がベータ分布に従うとき、実数\(\alpha >0\)と\(\beta>0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)},& 0\leq x \leq 1,\\0,&otherwise.\end{array}\right.\end{align}
ベータ分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t)&=\int_{0}^{1}e^{itx}\cfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}dx\\&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\int_0^{1}\left\{\sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(itx)^j}{j!}\right\} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx\\\label{eq9}&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\int_0^{1} x^{\alpha+j-1}(1-x)^{\beta-1}dx\tag{9}\end{align}
となる。ここでベータ関数は、\(\mathrm{Re}\ (y)>0, \mathrm{Re}\ z>0\)を満たす複素数\(y, z\)に対して
\begin{align}B(y,z) = \int_0^1u^{y-1}(1-u)^{z-1}du\end{align}で定義されることから、\eqref{eq9}は次となる。\begin{align}&\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}\int_0^{1} x^{\alpha+j-1}(1-x)^{\beta-1}dx\\&=\cfrac{1}{B(\alpha, \beta)}\sum_{j=0}^{\infty}\cfrac{(it)^j}{j!}B(\alpha+j, \beta)\\&=1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\cfrac{B(\alpha+j, \beta)}{B(\alpha,\beta)}\right\}\cfrac{(it)^j}{j!}\\&=1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\cfrac{\Gamma(\alpha+j)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta+j)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)}\right\}\cfrac{(it)^j}{j!}\\&=1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\cfrac{\Gamma(\alpha+j)\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\beta+j)}\right\}\cfrac{(it)^j}{j!}\\&=1+\sum_{j=1}^{\infty}\left\{\cfrac{\Gamma(\alpha)\prod_{k=0}^{j-1}(\alpha+k)\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\beta)\prod_{k=0}^{j-1}(\alpha+\beta+k)}\right\}\cfrac{(it)^j}{j!}\\&=1+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{j-1}\cfrac{\alpha+k}{\alpha+\beta+k}\right)\cfrac{(it)^j}{j!}.\end{align}
また、\(X\)の1次モーメントは
\begin{align}\mu_1&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d\phi(t)}{dt}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\cfrac{d}{dt}\left[1+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{j-1}\cfrac{\alpha+k}{\alpha+\beta+k}\right)\cfrac{(it)^j}{j!}\right]\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i}\left.\sum_{j=1}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{j-1}\cfrac{\alpha+k}{\alpha+\beta+k}\right)\cfrac{ji^jt^{j-1}}{j!}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{align}
であり、2次モーメントは
\begin{align}\mu_2&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d^2\phi(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.\cfrac{d}{dt}\sum_{j=1}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{j-1}\cfrac{\alpha+k}{\alpha+\beta+k}\right)\cfrac{ji^jt^{j-1}}{j!}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{1}{i^2}\left.\sum_{j=1}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{j-1}\cfrac{\alpha+k}{\alpha+\beta+k}\right)\cfrac{j(j-1)i^jt^{j-2}}{j!}\right|_{t=0}\\&=\cfrac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}\end{align}
である。\(X\)の期待値と分散は、それぞれ
\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \mu_1 = \cfrac{\alpha}{\alpha+\beta},\\\mathrm{Var}[X] &=\mu_2-\mu_1^2\\&=\cfrac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}-\left(\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\right)^2\\&=\cfrac{\alpha\bigl\{(\alpha+1)(\alpha+\beta) -\alpha(\alpha+\beta+1)\bigr\}}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\\&=\cfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\end{align}
である。
t分布
確率変数\(X\)がt分布に従うとき、実数\(\nu >0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。
\begin{align}f(x) = \cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}},\ \ -\infty<x<\infty.\end{align}
t分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)を導出するために、次の第2種のmodified Bessel functionを用いる。
\begin{align}\label{eq10}K_{\alpha}(z) =\left(\cfrac{z}{2}\right)^{\alpha}\cfrac{\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}} \int_0^{\infty} (1+u^2)^{-(\alpha+\frac{1}{2})}\cos zu\ du,\tag{10}\end{align}
ここに複素数\(z\)は\(\mathrm{Re}\ z>0\)を満たし、\(\alpha>-\frac{1}{2}\)とする。特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\\&= \cfrac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(\cos tx+i\sin tx)\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\end{align}
で表現される。\(X\)の確率密度関数\(f(x)\)は偶関数であることと、\(\cos tx\)と\(i\sin tx\)はそれぞれ偶関数、奇関数であることから、上の積分における複素数部分のは\(0\)となり、積分区間を\([0, \infty)\)とすることで、実数部分の積分は2倍となる。よって次を得る。
\begin{align}\label{eq11}\phi(t) &=\cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{0}^{\infty}\cos tx\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx.\tag{11}\end{align}
\eqref{eq11}に\(\frac{x}{\sqrt{\nu}} =y\)の変換を行うと
\begin{align}&\cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_{0}^{\infty}\cos tx\left(1+\cfrac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}dx\\&=\cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_0^{\infty}\cos \sqrt{\nu}tz\ (1+z^2)^{-\frac{\nu+1}{2}}\sqrt{v}dz\\&=\cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_0^{\infty}\cos \sqrt{\nu}tz\ (1+z^2)^{-\frac{\nu+1}{2}}dz\end{align}
を得る。\(\cos\sqrt{\nu}(-t)z = \cos\sqrt{\nu}tz =\cos\sqrt{\nu}|t|z \)であるので、\eqref{eq10}に\(\alpha=\frac{\nu}{2}\)、\(z = \sqrt{\nu}|t|\)を適用することで、任意の実数\(t\)に対し次の特性関数を得る。
\begin{align}&\cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\int_0^{\infty}\cos \sqrt{\nu}tz\ (1+z^2)^{-\frac{\nu+1}{2}}dz\\&= \cfrac{2\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(\cfrac{\sqrt{\nu}|t|}{2}\right)^{-\frac{\nu}{2}}\cfrac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} K_{\frac{\nu}{2}}(\sqrt{\nu}|t|)\\&= \cfrac{(\sqrt{\nu}|t|)^{\frac{\nu}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}-1}\Gamma(\frac{\nu}{2})}K_{\frac{\nu}{2}}(\sqrt{\nu}|t|).\end{align}
F分布
確率変数\(X\)がF分布に従うとき、実数\(m >0\)と\(n>0\)に対して、\(X\)の確率密度関数は次で与えられる。
\begin{align}\label{eq12}f(x) =\left\{\begin{array}{cc}\cfrac{m^{\frac{1}{2}m}n^{\frac{1}{2}n} x^{\frac{1}{2}m-1}}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)(n+mx)^{\frac{1}{2}(m+n)}}, & x\geq 0\ \ (if\ m=1,\ x>0),\\0,&otherwise.\end{array}\right.\tag{12}\end{align}
F分布に従う確率変数の特性関数を導出する。\(X\)の特性関数\(\phi(t)\)を導出するために次のTricomi confluent hypergeometric functionを用いる。
\begin{align}U(a; c; z)=\cfrac{1}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}u^{a-1}(1+u)^{c-a-1}e^{-zu}du,\end{align}
ここに、複素数\(a\)と\(z\)は\(\mathrm{Re}\ a>0\)、\(\mathrm{Re}\ <z<\pi/2\)を満たすとする。特性関数\(\phi(t)\)は
\begin{align}\phi(t) &= \int_0^{\infty}e^{itx} \cfrac{m^{\frac{1}{2}m}n^{\frac{1}{2}n} x^{\frac{1}{2}m-1}}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)(n+mx)^{\frac{1}{2}(m+n)}}dx \\&= \cfrac{(n/m)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)}\int_0^{\infty}\bigl\{(m/n)x\bigr\}^{\frac{1}{2}m-1} \bigl\{1+(m/n)x\bigr\}^{-\frac{1}{2}(m+n)}e^{itx} dx\end{align}
であり、\((m/n)x = y\)の変換を行うと
\begin{align}&\cfrac{(m/n)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)}\int_0^{\infty}\bigl\{(n/m)x\bigr\}^{\frac{1}{2}m-1} \bigl\{1+(n/m)x\bigr\}^{-\frac{1}{2}(m+n)} e^{itx}dx\\&=\cfrac{(m/n)}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)}\int_0^{\infty}y^{\frac{1}{2}m-1} (1+y)^{-\frac{1}{2}(m+n)} e^{it\frac{n}{m}y}\cfrac{m}{n}dy\\&= \cfrac{1}{B(\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n)}\int_0^{\infty} y^{\frac{1}{2}m-1}(1+y)^{-\frac{1}{2}(m+n)}e^{it\frac{n}{m}y}dy\\&= \cfrac{1}{\Gamma(\frac{1}{2}m)\Gamma(\frac{1}{2}n)/\Gamma\bigl[\frac{1}{2}(m+n)\bigr]}\Gamma(\tfrac{1}{2}n)U(\tfrac{1}{2}m; 1-\tfrac{1}{2}n; -it\tfrac{n}{m})\\&=\cfrac{ \Gamma\bigl[\frac{1}{2}(m+n)\bigr]}{\Gamma(\frac{1}{2}m)}U(\tfrac{1}{2}m; 1-\tfrac{1}{2}n; -it\tfrac{n}{m})\end{align}
を得る。
