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不偏推定量

不偏推定量の定義を以下にまとめる。

不偏推定量

$x$をパラメータ$\theta$をもつ母集団の標本とし、$\hat{\theta}$を$\theta$の推定量とする。推定量$\hat{\theta}$が次を満たすとき、$\hat{\theta}$は不偏性をもつという。

\begin{align} \mathrm{E}_{X|\theta}[\hat{\theta}] = \theta.\end{align}

標準偏差の不偏推定量

標準偏差の不偏推定量は以下の通り。

標準偏差の不偏推定量

$X_1, X_2,\ldots, X_n,\ i.i.d.\sim N(\mu, \sigma^2)$について標準偏差$\sigma^2$の不偏推定量は次で与えられる。\begin{align} \label{eq1} D&= \sqrt{\cfrac{n – 1}{2}} \cfrac{ \Gamma[(n – 2) / 2]}{\Gamma[(n – 1) / 2] }S , \tag{1}\end{align}ここに$S^2$は次の不偏標本分散である。

\begin{align} S^2&= \cfrac{1}{n – 1}\sum_{i=1}^n(X_i- \bar{X})^2.\end{align}

不偏標本分散の平方根が標準偏差の不偏推定量とはならないことに注意が必要である。

証明　標準偏差の不偏推定量を導出するために、次の標本分散を定義する。

\begin{align}S^2&= \cfrac{1}{n – 1}\sum_{i=1}^n(X_i- \bar{X})^2. \end{align}

標本分散の分布より$V =( n-1) S^2 / \sigma^2 \sim\chi_{n – 1}^2$であることから

\begin{align} \mathrm{E}[V^{1/2}] &= \int_0^{\infty} v^{1/ 2} \cfrac{v^{(n- 1) / 2 – 1} e^{- v / 2}}{2^{(n – 1) / 2} \Gamma[(n – 1) / 2]} dv \\ &= \cfrac{1}{2^{(n – 1) / 2} \Gamma[(n – 1) / 2]} \int_0^{\infty} v^{n / 2 – 1} e^{- v / 2} dv \\ &= \cfrac{1}{2^{(n – 1) / 2} \Gamma[(n – 1) / 2]} \cfrac{\Gamma(n/ 2)}{2^{- n / 2}} \\ &=\sqrt{2}\cfrac{\Gamma(n / 2)}{\Gamma[(n – 1) / 2]}. \end{align}よって\begin{align} &\mathrm{E}[V^{1/ 2}] = \sqrt{2}\cfrac{\Gamma(n / 2)}{\Gamma[(n – 1) / 2]} \\ &\Leftrightarrow \mathrm{E}\left[\left\{ \cfrac{(n – 1)S^2}{ \sigma^2}\right\}^{1/ 2}\right] = \sqrt{2} \cfrac{\Gamma(n / 2)}{\Gamma[(n – 1) / 2]} \\ &\Leftrightarrow \mathrm{E}[S] =\sqrt{\cfrac{2}{n – 1}}\cfrac{\Gamma(n / 2)}{ \Gamma[(n – 1) / 2]}\sigma. \end{align}

ゆえに右辺の$\sigma$の係数の逆数を$S$に掛けた確率変数を$D$とおくと、次のように期待値は$\sigma$に一致する。

\begin{align}\mathrm{E}[D] &= \mathrm{E}\left[\sqrt{\cfrac{n – 1}{2}}\cfrac{\Gamma[(n – 1) / 2]}{\Gamma(n / 2) }S \right] \\ &=\sqrt{\cfrac{n – 1}{2}}\cfrac{\Gamma[(n – 1) / 2]}{\Gamma(n / 2) }\mathrm{E}[S] \\ &=\sqrt{\cfrac{n – 1}{2}}\cfrac{\Gamma[(n – 1) / 2]}{\Gamma(n / 2) }\sqrt{\cfrac{2}{n – 1}}\cfrac{\Gamma(n / 2)}{ \Gamma[(n – 1) / 2]}\sigma \\ &= \sigma.\end{align}

\eqref{eq1}の標準偏差の不偏推定量が得られた。

【計算フォーム】母比率の差の検定　p値の算出

usagi-san — Wed, 10 Jan 2024 12:54:53 +0000

母比率の差の検定のp値の計算フォームを作りました。2標本の母比率の検定が可能です。

1標本の母比率の検定がしたい方は、次の母比率の検定の計算フォームを参照。

以下、母比率の仮説検定の概要です。計算フォームで算出するp値は次の仮説に基づいたものとなります。

母比率の差の検定

$x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n_1}$を$Bernoulli(p_1)$からの$n_1$個の無作為標本、$x_{21} , x_{22}, \ldots, x_{2n_2}$を$Bernoulli(p_2)$からの$n_2$個の無作為標本とする。このとき、次の仮説検定を考える。\begin{align}&H_0:\ p_1 = p_2\\ &H_1:\ p_1 \neq p_2\end{align}

補足として、この計算フォームのp値は大標本の下での値となっています。標準正規分布に基づく近似値となっています。

母比率の差の検定　計算フォーム

次のテーブルのsuccess成功数、failureに失敗数を各群AとBに入力するとp-valueの列にp値が表示されます。

A群のsuccessに41、failureに59、B群のsuccessに16、failureに34と記入されているように、データを入力してください。

注意ポイント

注意として、一番右のp値のセルを消したりすると、p値が正しく計算されなくなります。その場合はブラウザの再読み込みをお願いします。

母比率の差の検定について勉強したい方は次の記事を参照。

: 【統計学】母比率の検定・母比率の差の検定

通常の1標本の母比率の検定や2標本の母比率の差の検定を含む様々な母比率の検定を解説する。ここでは、Z検定を用いた大標本の下で母比率の検定について紹介し、検定統計量や棄却域の導出を行う。大標本におけ …

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また、R言語で母比率の差の検定を実行したい方は次の記事を参照。

: 【R言語】母比率の検定・母比率の差の検定

R言語で母比率の検定を実行する方法を紹介します。 R言語ではt検定などと同様に、簡単に比率に関する検定を実行することが可能です。今回は、母比率の検定に関する関数の説明やその実行例をまとめました。こ …

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【R言語】指数関数・ネイピア数

usagi-san — Mon, 08 Jan 2024 19:47:58 +0000

R言語でネイピア数eおよび指数関数について解説します。

この記事では関数expを使った指数関数の計算の仕方を見ていきます。

自然対数については次の記事を参照ください。

この記事で紹介するコードは以下からダウンロードできます。

R言語　指数関数

1 ファイル 0.28 KB

ダウンロード

指数関数

次の関数expで指数関数、ネイピア数を計算することができます。

length(x) length(x) <- value

上の関数expの引数は次の通りです。

関数expの引数
x	numericまたはcomplex型のベクトル。

実行例

ネイピア数の値を取得したい場合は、次のように関数expの引数に1を渡します。

2.718…が取得できているのが分かります。

> exp(1)
[1] 2.718282

> log(exp(1))
[1] 1

また、引数にベクトルを渡すことで複数の指数関数の値を計算できます。

1から10までの連続するベクトルを渡すと、$e^1, e^2, \ldots, e^{10}$ を一度に計算することが可能です。

> exp(seq_len(10))
 [1]     2.718282     7.389056    20.085537    54.598150   148.413159   403.428793
 [7]  1096.633158  2980.957987  8103.083928 22026.465795

関数curveを使うと、簡単に指数関数のグラフを確認することができます。

curve(exp, from = -5, to = 5)

指数関数

また、dnormという標準正規分布の関数がRでは定義されていますが、標準正規分布の関数を自分で作ることも可能です。

densityOfStdNormalDst <- function(x) {
  density <- 1 / sqrt(2 * pi) * exp(- x ^ 2 / 2)
  return(density)
}

curve(densityOfStdNormalDst, from = -3, to = 3)

以下、作成した関数のグラフです。

標準正規分布

まとめ

R言語の指数関数について解説しました。

関数expでネイピア数および指数関数を計算することができます。

t検定の計算の仕方　母平均の検定

usagi-san — Sun, 31 Dec 2023 06:03:44 +0000

母平均の検定であるt検定の計算について解説していきます。

t検定の式から検定の具体例を用いた統計量の計算の仕方について見ていきます。

t検定を数理的に詳しく見ていきたいという方は以下の記事を参照ください。

: 【統計学】t検定　母平均の検定・母平均の差の検定

ここでは、統計学の仮説検定において重要なStudentのt検定について解説する。母分布である正規分布のパラメータによって様々なt検定の手法が提案されている。その中でもよく使われるt検定についてみて …

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